Найдите точку максимума функции y=(x−4)^2 (x+5)+8

Для того чтобы найти наибольшее значение функции, необходимо представлять, какая у нее форма, и сделать это можно с помощью производной, ведь производная отражает динамику функции, а в случае, если производная равна 0,  это точка экстремума функции (мин или макс).
Точка максимума - это абсцисса точки, в которой функция достигает максимума.

Итак, найдем производную.
`y=(x−4)^2 (x+5)+8`
`y=(x−4)(x−4)(x+5)+8`
`y=(x^2-4x-4x+16)(x+5)+8`
`y=(x^2-8x+16)(x+5)+8`
`y=(x^3+5x^2-8x^2-40x+16x+80)+8`
`y=x^3-3x^2-24x+88`

`y´=3x^2-3*2x-24`
Теперь найдем значение при y´=0
`0=3x^2-6x-24`
`D=36-4*3*(-24)=324=18^2`
`x_1=(6+18)/6=4` 
`x_2=(6-18)/6=-2` 

По факту мы нашли точки экстремума, так как производная в этих точках равна 0. Но какая из точек максимум, а какая минимум? Теперь на основании знаков производной поймем где функция росла, то есть производная была больше нуля, а где уменьшалась, где производная была меньше 0.

`y´(-3)=3x^2-3*2x-24=3*9+3*2*3-24=27+12-24` (это больше 0, функция росла)
`y´(0)=3x^2-3*2x-24 = -24` (меньше 0, функция убывала)
`y´(10)=3x^2-3*2x-24=300-60-24` (это больше 0, функция росла)

Получается по логике до -2 росла, потом убывала до 4 и потом снова росла. Тогда x = -2 является точкой локального максимума.

Ответ: -2