Тренажер на задание 20 ЕГЭ база по математике (растворы, сплавы, движение, работа), ФИПИ

В двадцатой линейке ЕГЭ базового уровня по математике находятся задачи на сплавы, растворы, движение и совместную работу. Прототипы заданий систематически повторяются на каждом ЕГЭ, отличаются только цифры, а это значит, что всего лишь нужно знать, как решаются прототипы, тогда и на реальном ЕГЭ базовом вы сможете решить то же самое, но с другими числами. Мы выбрали ВСЕ ПРОТОТИПЫ заданий 20-й линейки ЕГЭ база по математике из открытого банка заданий ФИПИ. 

20. Впишите правильный ответ.

В сосуд, содержащий 4 кг 18-процентного водного раствора вещества, добавили 5 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ?

8

Решение

Узнаем массу вещества в 1-м растворе
4 кг - 100 %
х кг - 18 %
`x=(4*18)/100=0,72` кг
При добавлении воды масса вещества в растворе останется той же, а масса раствора будет 4+5=9 кг
0,72 кг - y %
9 кг - 100 %
`y=(0,72*100)/9=8` %
Ответ: 8

Короткий способ, которым и будем пользоваться в дальнейшем:
Находим среднее для 9 частей при известных концентрациях
`(4*0,18+5*0)/9=0,08` или 8 %
Ответ: 8

iНомер по ФИПИ: 042FF7

20. Впишите правильный ответ.

Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ?

17

Решение

Поскольку количества растворов РАВНЫЕ, можно найти ответ как среднее арифметическое двух значений.
`(14+20)/2=17` %
Ответ: 17

iНомер по ФИПИ: 4AF442

20. Впишите правильный ответ.

Смешали 3 литра 5-процентного раствора вещества с 4 литрами 40-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ?

25

Решение

Находим среднее для 7 частей при известных концентрациях
`(3*0,05+4*0,4)/7=0,25` или 25 % %
Ответ: 25

iНомер по ФИПИ: A34BF2

20. Впишите правильный ответ.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40 % меди, второй – 15 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % меди. Масса первого сплава равна 20 кг. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

25

Решение

Пусть х - масса второго сплава, тогда (20+х) - масса третьего. Находим среднее для 20+x частей при известных концентрациях
`(20*0,4+x*0,15)/(20+x)=0,35`
`8+0,15x=7+0,35x`
`0,2x=1`
`x=5`
Находим массу третьего сплава:
`20+5=25` кг
Ответ: 25

iНомер по ФИПИ: 53E11E

20. Впишите правильный ответ.

Имеется два сплава. Первый содержит 15 % никеля, второй – 35 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30 % никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго сплава ?

70

Решение

Пусть х - масса второго сплава, тогда (35+x) - масса третьего. Находим среднее для 35+x частей при известных концентрациях
`(35*0,15+x*0,35)/(35+x)=0,3`
`5,25+0,35x=10,5+0,3x`
`0,05x=5,25`
`x=105`
Узнаем разницу между массой первого и второго сплава:
`105-35=70` кг
Ответ: 70

iНомер по ФИПИ: 9EFADC

20. Впишите правильный ответ.

Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой – за 12 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе ?

9

Решение

По условию первый мастер может выполнить заказ за 36 часов, следовательно, его производительность 1/36 заказа в час.
Второй мастер может выполнить заказ за 12 часов, следовательно, его производительность 1/12 заказа в час.
Совместная производительность составит
`1/36 + 1/12 = 4/36` заказа в час и при совместной работе они выполнят заказ за
`36/4 = 9` часов
Ответ: 9

iНомер по ФИПИ: EB6CE1

20. Впишите правильный ответ.

Первый насос наполняет бак за 10 минут, второй – за 14 минут, а третий – за 35 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно ?

5

Решение

Производительность первого насоса 1/10, второго 1/14, третьего 1/35.
`1/10+1/14+1/35=35/350+25/350+10/350=70/350` - общая производительность, тогда бассейн три насоса заполнят за
`350/70=5` мин
Ответ: 5

iНомер по ФИПИ: B02FC4

20. Впишите правильный ответ.

Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Таня – за 36 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Аня ?

...

Решение

Производительность Тани 1/36, а общая 1/24, тогда производительность Ани
`1/24-1/36=3/72-2/72=1/72`, и она прополет грядку одна за 72 минуты.
Ответ: 72

iНомер по ФИПИ: 2E7353

20. Впишите правильный ответ.

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов теста, а Ваня – на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 70 минут. Сколько вопросов содержит тест ?

20

Решение

`60/10=6` мин на 1 вопрос отвечает Петя
`60/24=2,5` мин 1 вопрос отвечает Ваня
`6-2,5=3,5` мин быстрее отвечает на 1 вопрос Петя.
`70/(3,5)=20` вопросов создали такую задержку по времени
Ответ: 20

iНомер по ФИПИ: 358F41 ⭐

20. Впишите правильный ответ.

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 420 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 255 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

55

Решение

`420-255=165` км проехал автомобиль из города А
`165/3=55` км/ч - скорость автомобиля выехавшего из города А, так как он ехал 3 часа
Ответ: 55

iНомер по ФИПИ: C82764

20. Впишите правильный ответ.

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 30 км. Путь из А в В занял у туриста 11 часов, из которых 8 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

3

Решение

11-8=3 ч ушло на подъем
Пусть x км/ч - скорость на спуске, тогда (x-1) км/ч - скорость на подъеме.
Путь = время*скорость, тогда путь по спуску 8х, по подъему 3*(x-1), а всего они прошли 30 км.
Составим уравнение
`8x+3(x-1)=30`
`11x=33`
`x=3` км/ч
Ответ: 3

iНомер по ФИПИ: D3C527

20. Впишите правильный ответ.

Расстояние между городами A и B равно 790 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 490 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

70

Решение

`790-490=300` км проехал второй автомобиль (из города В) до встречи
`300/75=4` часа ехал автомобиль из города В  до встречи
Тогда из города А первый автомобиль ехал `4+3=7` часов, а его путь составил 490 км.
`490/7=70` км/ч - скорость первого  автомобиля
Ответ: 70

iНомер по ФИПИ: 28AEAC

20. Впишите правильный ответ.

Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 85 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

300

Решение

`60*3=180` км проехал первый автомобиль (из города А) за 3 часа
`470-180=290` км осталось проехать автомобилям до встречи после выезда 2 автомобиля
`60+85=145` км/ч - скорость сближения
`290/145=2` часа ехали машины до встречи.
`(3+2)*60=300` км - расстояние от города А, которое прошел первый автомобиль и на котором автомобили встретятся
Ответ: 300

iНомер по ФИПИ: A260CD ⭐

20. Впишите правильный ответ.

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 2,6 км от дома. Один идёт со скоростью 3 км/ч, а другой — со скоростью 4,8 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

2

Решение

Задача сводится к тому, что бы найти на какое расстояние успеет уйти 1-й человек.
Вместе они пройдут до встречи
`2,6*2=5,2` км,
а их скорость сближения будет
`3+4,8=7,8` км/ч 
Время в пути до момента встречи
`(5,2)/(7,8)`
`(5,2*3)/(7,8)=2` км - пройдет путник от дома со скоростью 3 км/ч
Ответ: 2

Еще способ:
`2,6:4,8=13/24` час – потребуется второму, чтобы дойти до опушки
`3·13/24=13/8` км пройдет за это время первый
`2,6–13/8=78/80=39/40` - расстояние между первым и вторым в тот момент, когда второй дошел до опушки и будет возвращаться обратно
`3+4,8=7,8` км/ч - скорость сближения, с которой они идут навстречу друг другу
`39/40:7,8=1/8` час. - через (1/8) часа встретятся
`3·1/8=3/8` км пройдет за это время первый.
`13/8+3/8=16/8 = 2` км пройдет первый от дома до места встречи
Ответ: 2

Через уравнение:
Пусть первый человек прошел x км. Тогда второй пройдет 
`2,6+(2,6−x)=5,2−x`, т.к. он дошел до опушки и прошел некоторый путь обратно.
Время можно найти по формуле 
`t=S/V` , где  S – пройденный путь,  V – скорость.
Время первого человека `t_1​ = x/3` ,
время второго человека –  `t_2 = (5,2−x)/(4,8)`.
Приравняем время двух человек и найдем путь, пройденный первым человеком до момента их встречи:
`x/3 = (5,2−x)/(4,8)`
`4,8x=15,6−3x`
`7,8x=15,6`
`x=2` - на расстоянии 2 км от дома произошла встреча двух людей.
Ответ: 2

iНомер по ФИПИ: 67DE40 ⭐

20. Впишите правильный ответ.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 22 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 28 часов после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

480

Решение

Скорость по течению реки `22+2=24` км/ч, 
против течения реки `22-20=20` км/ч
`t=S/V`, где  S – пройденный путь,  V – скорость ⇒ `t_1/t_2=V_2/V_1` - время обратно пропорционально скорости, значит в `24/20` раза дольше теплоход идет против течения
Пусть x - время по течению, тогда `24/20x` - время против течения, а всего теплоход плывет туда и обратно `28-6=22` часа. Составим уравнение:
`x+24/20x = 22`
`44/20x = 22`
`x=22:44/20=22*20/44=10` часов идет по течению
`24*10=240` км - путь в одном направлении
`240*2=480` км - путь туда и обратно.
Ответ: 480

iНомер по ФИПИ: 992620 ⭐

20. Впишите правильный ответ.

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующий час – со скоростью 50 км/ч, а затем два часа – со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

48

Решение

`v_(ср.)=S_(общ.)/t_(общ.)`
`S=vt`
`S_1=2*55`
`S_2=1*50`
`S_3=2*40`
Всего ехал 2+1+2=5 часов
`v_(ср.)=(2*55+1*50+2*40)/5=240/5=48` км/ч
Ответ: 48

НЕЛЬЗЯ искать среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей, потому что время на каждом участке разное!

iНомер по ФИПИ: DAA716

20. Впишите правильный ответ.

Первые 110 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 130 км – со скоростью 100 км/ч, а затем 180 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

84

Решение

Для нахождения средней скорости применим формулу `v_(ср.)=S_(общ.)/t_(общ.)`.
Найдем расстояние Sобщ., которое проехал автомобиль:
`110+130+180=420` км.
Найдем, сколько времени tобщ. на это было затрачено , по формуле `t = S/v`
`110/50 + 130/100 + 180/120 = 5` часов.
Тогда средняя скорость составляет
`v =420/5=84` км/ч.
Ответ: 84

iНомер по ФИПИ: 0DF1DD

20. Впишите правильный ответ.

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть – со скоростью 80 км/ч, а последнюю – со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

48

Решение

Формула средней скорости `v_(ср.)=S_(общ.)/t_(общ.)`, 
`t_(общ.)=t_1+t_2+t_3`,
`t=S/v`
Пусть весь путь - x км.
Тогда `t_1=1/3x:30`
`t_2=1/3x:80`
`t_3=1/3x:60`
`v_(ср.)=x/(x/90+x/240+x/180)=x:(8x+3x+4x)/720=x*720/(15x)=48` км/ч
Ответ: 48

Или такой вариант решения:
Формула средней скорости `v_(ср.)=S_(общ.)/t_(общ.)`, 
`t_(общ.)=t_1+t_2+t_3`, 
`t=S/v`
Пусть  x км - треть пути.
Тогда `t_1=x/30`
`t_2=x/80`
`t_3=x/60`
`v_(ср.)=(3x)/(x/30+x/80+x/60)=3x:(8x+3x+4x)/240=3x*240/(15x)=48` км/ч
Ответ: 48

iНомер по ФИПИ: 487AA3

20. Впишите правильный ответ.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 12 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 276 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

23

Решение

Формула средней скорости `v_(ср.)=S_(общ.)/t_(общ.)`, 
`t_(общ.)=t_1+t_2`, 
`t=S/v`
Пусть x -  путь в обе стороны.
Тогда `t_1=1/2x:12`
`t_2=1/2x:276`
`v_(ср.)=x/(x/24+x/552)=x:(24x)/552=x*552/(24x)=23` км/ч
Ответ: 23

Другой вариант решения:
Формула средней скорости `v_(ср.)=S_(общ.)/t_(общ.)`, 
`t_(общ.)=t_1+t_2`, 
`t=S/v`
Пусть x - путь в одну сторону.
Тогда `t_1=x/12`
`t_2=x/276`
`v_(ср.)=(2x)/(x/12+x/276)=2x:(24x)/276=2x*276/(24x)=23` км/ч
Ответ: 23

iНомер по ФИПИ: 66BA83