Тренажер на задание 23 ОГЭ по математике: геометрия с развернутым ответом

Cделаем рисунок: ромб ABCD

Пусть AC = 76.
Расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон OK = 19
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому `AO=76/2=38`.
В получившемся прямоугольном треугольнике AOK гипотенуза AO в 2 раза больше катета OK, значит угол напротив этого катета равен 30º – это половина острого угла ромба.
Тогда острый угол ромба равен 60º.
Тупой угол будет равен 180º – 60º = 120º
Ответ: 60º; 120º; 60º; 120º

Решение статграда:

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке , отрезок OH — высота треугольника AOD, причём AC = 76 , OH =19 . Тогда в прямоугольном треугольнике AOH гипотенуза AO=76/2=38 вдвое больше
катета OH , значит, угол OAH равен 30° .
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, ∠BAD = ∠BCD = 60° ,
а ∠ABC = ∠ADC =120° .
Ответ: 60º; 120º; 60º; 120º

Для проверки впишите 120

∠ BKA = ∠ KAD  как накрест лежащие углы при параллельных прямых.
И так как АК - биссектриса, то ∠BAK = ∠BKA. Следовательно, треугольник ABK  — равнобедренный, откуда
AB  =  BK  =  7.
Противоположные стороны параллелограмма равны. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон
P  =  2(BC + AB)  =  2*(7 + 12 + 7)  =  52. 
Ответ: 52

Решение статграда:
Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK , AK — биссектриса угла BAD , следовательно, ∠BKA = ∠KAD = ∠BAK .
Значит, треугольник BKA равнобедренный и AB = BK = 7.
По формуле периметра параллелограмма находим
`P_(ABCD) = 2 (AB + BC) = 52`.
Ответ: 52

AB=BC=CD=AD=DH+CH=21+8=29 (по определению ромба).
Рассмотрим треугольник AHD.
AHD - прямоугольный (т.к. AH - высота), тогда по теореме Пифагора:
AD²=AH²+DH²
29²=AH²+21²
841=AH²+441
AH²=400
AH=20
Ответ: 20

Первоначально найдем значение гипотенузы этого треугольника, зная катеты и введя для них обозначtния AB и BC а гипотенузу обозначив за АС.
`AC=sqrt(18^2+24^2)=sqrt(324+576)=30`
При этом высоту h можно найти из составления равенства площади треугольника, выразив ее через половину произведения катетов и через половину произведения высоты и гипотенузы. Здесь неизвестная только высота, которую и можно будет вычислить, подставив значения.
18*24*0,5 = 30*h*0.5
h = 216:15 = 14,4
Ответ: 14,4

Первоначально найдем значение неизвестного катета этого треугольника, зная катет и введя для них обозначения AB (неизвестный) и BC а гипотенузу обозначив за АС.
`AB=sqrt(125^2-35^2)=sqrt(15625-1225)=sqrt(14400)=120`
При этом высоту h можно найти из составления равенства площади треугольника, выразив ее через половину произведения катетов и через половину произведения высоты и гипотенузы. Здесь неизвестная только высота, которую и можно будет вычислить, подставив значения.
`35*120*0,5 = 125*h*0,5`
`h=4200/125`
`h==33,6`
Ответ: 33,6

Введём обозначения, как показано на рисунке. Сумма смежных углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180°, следовательно:
2∠BAF + 2∠ABF=180° равносильно ∠BAF + ∠ABF=90º.
Рассмотрим треугольник ABF, сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠AFB=180º-∠BAF-∠ABF=90 градусов, то есть треугольник ABF  — прямоугольный.
Найдём AB по теореме Пифагора:
`AB^2=sqrt(AF^2+BF^2)=sqrt(24^2+10^2)=sqrt(576+100)=sqrt(676)=26`
Ответ: 26

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. В этих треугольниках углы BMN и BAC равны как соответственные, также равны и углы BNM и BCA. Значит, треугольники ABC и MBN подобные по 1 признаку подобия треугольников (по двум углам).
`(AC)/(MN)=42/12=3,5` - коэффициент подобия.
Значит `(BC)/(BN)=3,5`, при этом `BC=NC+BN`, однако так как BN одна часть, то NC будет 2,5, чтобы получилось 3,5
`BN=25/(2,5)=10`
Ответ: 10

Решение статграда:
Поскольку прямая MN параллельна прямой AC , углы BNM и BCA равны как соответственные при параллельных прямых AC и MN и секущей BC. Следовательно, треугольники и MBN подобны по двум углам.
Значит,
`(BC)/(BN)=(AC)/(MN)=42/12=3,5` , а поскольку
`(BC)/(BN)=(BN+NC)/(BN)= 1+25/(BN)`, получаем
`BN =25/(2,5)=10`
Ответ: 10

Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие, углы DMC и BMA равны как вертикальные. Следовательно, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам.
Значит, их стороны относятся друг другу пропорционально.
Зная их гипотенузу и соотношение между гипотенузами, можно найти и соответственные стороны, зная их общую длину как в нашем случае или одну из сторон в одном из треугольников.
Гипотенузы треугольников относятся как
`42/14=3/1`, значит в общей длине сторон AC = AM + MC будет 4 части, где одна сторона в три раза больше другой (это три части) и 1 часть - это длина меньшей стороны (катета). А так как МС - катет большего треугольника, тогда:
`52/4*3=39`
Ответ: 39

Решение статграда:
Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие при параллельных
прямых AB и CD и секущей AC (см. рисунок), углы DMC и BMA равны
как вертикальные, следовательно, треугольники DMC и BMA подобны
по двум углам. Значит,
`(AM)/(MC)=(AB)/(CD)=(14)/(42)=1/3`
Cледовательно,
`AC = AM + MC = 1/3 MC + MC = 4/3 MC`,
и, таким образом, `MC = (3AC)/4 = 39`.
Ответ: 39

По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.

(Третье свойство: высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному. Доказательство: ∠ABH = 90º - ∠BAH   и ∠BCA (BCH) = 90º - ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, то есть в треугольника два угла равные, а значит, они подобны)

Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. 
И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.

При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 6, а большой катет в большом треугольнике равен 24-6=18

Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом.

`6*х=18/х`
`х =sqrt3` (наш коэффициент отношений треугольников) Теперь находим AB, беря известное нам значение малого катета и зная, что второй катет являющийся малым катетом большого треугольника больше на этот самый вычисленный коэффициент
`BA^2=AH^2+BH^2`
`BA=sqrt(6^2+(6*sqrt3)^2)`
`BA=sqrt(36+36*3)`
`BA=sqrt(144)`
`BA=12`
Ответ: 12

Решение статграда:
Поскольку BH — высота треугольника ABC , прямоугольные треугольники
ABC и AHB подобны.
Следовательно, `(AB)/(AC)= (AH)/(AB)`, а значит,
`AB = sqrt(AC ⋅ AH) =sqrt(24 ⋅ 6) =sqrt144 =12`.
Ответ: 12

Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.

Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-150°=30°

Используя функцию sin и зная одну сторону, можем узнать высоты BK и CH
`sin∠CDH=(CH)/(CD)`
`CH=sin∠CDH*CD`
`CH=sin30°*26`
`sin30°=1/2`
`CH=1/2*26`
`CH=13`
(В данном конкретном случае CH можно узнать иначе: катет в прямоугольном треугольнике напротив угла 30° в 2 раза меньше гипотенузы, значит CH=26:2=13)

Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
`sin∠BAK=(BK)/(AB)`
`AB=(BK)/(sin∠BAK)`
`AB=13/(sin45°)`
`AB=13/(sqrt2/2)=(13*2)/sqrt2=13sqrt2`

(В данном случае так же можно было поступить иначе: ∠BAK=45°, значит треугольник BKA равнобедренный и BK=AK. По теореме Пифагора `BA^2=13^2+13^2`
`BA^2=169+169`
`BA=sqrt(338)`
`BA=13sqrt2` )

Ответ: 13√2

Оформление статграда:
Проведём перпендикуляры BK и CH к прямой AD .
В прямоугольном треугольнике CDH угол HCD равен 150°-90°=60°, следовательно,
CH = CD*cos60° = 13.
В прямоугольном треугольнике ABK имеем BK=CH=13, а угол ABK
равен 45°. Значит,
`AB=(BK)/(cos45°) = 13/(sqrt2/2) = 13sqrt2`

Ответ: 13√2

Проведем перпендикуляры к хордам.

Тогда
`MB=(AB)/2=10/2=5`.
∆ВМО прямоугольный. По теореме Пифагора 
`OB^2=MB^2+OM^2=5^2+12^2=169`
`OB=13`
OB - радиус окружности, значит OB=OD
∆DNO прямоугольный. По теореме Пифагора
`OD^2=ON^2+ND^2`
`ND^2=OD^2-ON^2=13^2-5^2=144`
`ND=12`
`CD=2*ND=2*12=24`
Ответ: 24

Решение статграда:
Пусть OM =12 и ON = 5 — перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. Треугольники AOB и COD равнобедренные, значит,
AM = MB и CN = ND.
Тогда в прямоугольном треугольнике MOB имеем:
`OB=sqrt(OM^2+((AB)/2)^2)=sqrt(12^2+((10)/2)^2)=sqrt169=13`
В прямоугольном треугольнике CON гипотенуза CO = OB = 13 , откуда
`CN=sqrt(OC^2-ON^2)=sqrt(13^2-5^2)=12`
Получаем, что CD = 2CN = 24.
Ответ: 24

Проведем перпендикуляры к хордам OM и ON.
Тогда `MB=(AB)/2=30/2=15`.
∆ВМО прямоугольный. По теореме Пифагора 
`OB^2=MB^2+OM^2=15^2+20^2=625`
`OB=25`
OB - радиус окружности, значит OB=OD
∆DNO прямоугольный. По теореме Пифагора
`OD^2=ON^2+ND^2`
`ND=(CD)/2`
`ON^2=OD^2-ND^2=25^2-20^2=225`
`ON=15`
Ответ: 15

Решение статграда:
Пусть О — центр окружности, и пусть OM = 20 и ON — перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. Треугольники AOB и COD равнобедренные, значит, AM = MB и CN = ND.
Тогда в прямоугольном треугольнике MOB имеем
`OB=sqrt(OM^2+((AB)/2)^2)=25`
В прямоугольном треугольнике CON имеем CO = OB = 25 , значит,
`ON=sqrt(OC^2-((CD)/2)^2)=15`
Ответ: 15

BH — высота треугольника и диаметр круга.
Угол PBK  — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу PK, следовательно градусная мера дуги равна 180°, так как угол вписанный в окружность и опирающийся на хорду равен половине градусной меры дуги если измерять по концам хорды, а это значит, что хорда PK  — диаметр окружности и PK=14.
Ответ: 14

BH — высота треугольника и диаметр круга. Угол PBK  — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу PK, следовательно градусная мера дуги равна 180°, так как угол вписанный в окружность и опирающийся на хорду равен половине градусной меры дуги если измерять по концам хорды. Но хорда расположенная на градусной мере дуги в 180°  проходит через центр окружности и является диаметром, как и BH, тогда BH=14.
Ответ: 14

Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно,
∠KBC + ∠KPC = 180 градусов.
Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC = 180 градусов.
Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC =∠APK.
Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, ∠ APK = ∠ KBC, следовательно, треугольники подобны, откуда:
`(KP)/(BC)  = (AK)/(AC) = (AP)/(AB) `
`(AK)/(AC) = (KP)/(BC)`, найдём KP: 
`KP=(AK*BC)/(AC)`
`KP=(AK*BC)/(1,2*BC)=(AK)/(1,2)`
`18/(1,2)=15`
Ответ: 15

Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно,
∠KBC + ∠KPC = 180 градусов.
Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC = 180 градусов.
Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC =∠APK.
Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, ∠ APK = ∠ KBC, следовательно, треугольники подобны, откуда:
`(KP)/(BC)  = (AK)/(AC) = (AP)/(AB) `
`(AP)/(AB) = (KP)/(BC)`, найдём KP: 
`KP=(AP*BC)/(AB)`
`KP=(AP*BC)/(2*BC)=(AP)/2`
`34/2=17`
Ответ: 17

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем
`AB^2=AC*AD`, при этом неизвестное здесь AD, которое и выражаем.
`AD=(AB^2)/(AC)=9^2/12=81/12=6,75`
Теперь остается из AC вычесть AD и найдем диаметр.
`12-6,75=5,25`
Ответ: 5,25

Решение статграда:
Пусть окружность второй раз пересекает отрезок AC в точке D , т.е. CD — диаметр. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:
AB² = AC ⋅ AD;
AB² = AC (AC − CD) ;
81 = 12 (12 −CD),
81 = 144 −12CD
CD=63/12
откуда CD = 5,25 . Получили, что диаметр окружности равен 5,25.
Ответ: 5,25

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. При этом по свойству касательной и секущей, так как AB касательная, то проведенный радиус к ней будет перпендикуляром, то есть треугольник ABO прямоугольный. Из этого утверждения по теореме Пифагора можно найти AO. Прибавим половину диаметра, то есть радиус, и найдем необходимое нам AC.
`AO=sqrt(AB^2+OB^2)=sqrt(6^2+3,2^2)=sqrt(36+10,24)=sqrt(46,24)=6,8`
`6,8+3,2=10`
Ответ: 10

Решение статграда:
Пусть окружность второй раз пересекает отрезок AC в точке D , т.е. CD — диаметр. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем
AB² = AC ⋅ AD;
AB² = AC (AC −CD);
36 = AC (AC − 6,4);
AC² − 6,4AC −36 = 0,
откуда AC =10.
Ответ: 10

По обобщенной теореме синусов
`(BC)/sinA=(AC)/sinB=(AB)/sinC=2R`
В нашем случае известны два угла и неизвестен как раз угол напротив катета, который и предстоит узнать. Угол можно вычислить из условия того, что в треугольнике сумма всех углов равна 180 градусов.
`∠A=180°-(65°+85°)=30°`

`2R=(BC)/sinA`
`BC=2R*sinA`
`BC=2*R*sin30°`
`sin30°=1/2`
Подставляем значения и находим BC
`BC=2*14*sin30°=2*14*1/2=14`
Ответ: 14