Тренажер на задание 16 ОГЭ по математике: окружность, круг и их элементы

Угол AOB является центральным углом, ∠ACB — вписанным.
Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠ACB в два раза меньше ∠AOB. 
∠ACB = ∠AOB / 2 = 27° / 2 = 13,5°.
Ответ: 13,5

Угол AOB является центральным углом, ∠ACB — вписанным.
Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠ACB в два раза меньше ∠AOB. 
∠ACB = ∠AOB / 2 = 113° / 2 = 56,5°.
Ответ: 56,5

Смежные углы BOA и AOD образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°, откуда
∠AOB = 180° − 124° = 56°.
Угол AOB — центральный, следовательно, он равен дуге, на которую опирается,
угол ACB — вписанный, следовательно, он равен половине дуги, на которую опирается.
Поскольку углы AOB и ACB опираются на одну и ту же дугу, угол ACB равен половине угла AOB, то есть
∠ACB = ¹/₂ ∠AOB = 56 / 2 = 28°.
Ответ: 28

2 способ
Углы АОD и ВОС  - вертикальные, значит ∠АОD = ∠ВОС = 124°
Поскольку АС и ВD - диаметры, ВО = ОС, то есть треугольник ВОС - равнобедренный, значит его углы при основании равны.
Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АСВ = ∠ОСВ = (180° - 124°) / 2 = 56° / 2 = 28°
Ответ: 28

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, значит величина дуги AB равна 
2 · 79° = 158°.
Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°.
Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB:
дуга AD = 180° − 158° = 22°.
Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 22°.
Ответ: 22

2 способ
Поскольку АС и ВD - диаметры, ВО = ОС, то есть треугольник ВОС - равнобедренный, значит его углы при основании равны.
∠АСВ = ∠ОСВ = ∠ОВС = 79°
Сумма углов треугольника равна 180°.
∠ВОС = 180° - 2*79° = 22°
Углы АОD и ВОС  - вертикальные, значит они равны:
∠АОD = ∠ВОС = 22°
Ответ: 22

Угол NBA — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается.
Следовательно, дуга AN = 2∠NBA = 2 · 36° = 72°.
Диаметр AB делит окружность на две равные части, поэтому величина дуги ANB равна 180°,
откуда дуга NB = 180° − 72° = 108°.
Угол NMB — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается, то есть равен
108°/2 = 54°.
Ответ: 54

Если провести две средние линии для квадрата, когда та и другая будут пересекать середины перпендикулярных сторон квадрата, то каждая из таких линий будет являться диаметром вписанной окружности, а 4 получившихся квадрата будут со сторонами равными радиусу вписанной окружности. При этом все 4 квадрата будут одинаковые, а сторона каждого маленького квадрата будет равна половине стороны квадрата в котором они находятся. Получается нам надо разделить сторону большого квадрата пополам и мы узнаем радиус вписанной в этот квадрат окружности.
6:2=3
Ответ: 3

Самое простое решение
Заглядываем в справочные материалы ОГЭ и видим формулу:
`r=(asqrt3)/6=(2sqrt3*sqrt3)/6=6/6=1`
Ответ: 1

Для тех, кто хочет разобраться досконально

Проведем две высоты. При этом точка пересечения высот O является центром окружностей, из свойств равностороннего треугольника. Также высота будет являться биссектрисой, а значит угол BCO в прямоугольном треугольнике равен 30º Мы знаем, что катет в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы OC = 2R. Теперь используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника выразим R, через сторону AC. Получаем.

$\left(\frac{AC}2\right)^2+R^2\;=\left(2R\right)^2\\\left(\frac{AC}2\right)^2=4R^2-R^2\\\left(\frac{AC}2\right)^2=3R^2\\R^2=\frac{AC}4^2\ast\frac13\\R=\frac{AC}{2\sqrt3}$

Подставляем в формулу значение и считаем.
`R=(AC)/(2sqrt3)=(2sqrt3)/(2sqrt3)=1`
Ответ: 1

Лайфхак:

Если нужно найти радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, нужно число, стоящее перед знаком корня в условии, поделить на 2.
У нас в условии  2√ 3.  
2/2=1

Если провести радиус перпендикулярно к любой стороне, то получим прямоугольный треугольник, в котором можно найти гипотенузу. Причем эта гипотенузе будет равна половине диагонали, которую нам надо найти.

Запишем равенство, используя теорему Пифагора
х²=(2√2)²+(2√2)² = 4*2 + 4*2 =16
х = 4
2х = 8
Ответ: 8

Второй способ
Диагональ делит квадрат на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника.
Диаметр окружности равен катету треугольника и равен удвоенному радиусу
d = 2 * 2√2 = 4√2
По теореме Пифагора можем найти гипотенузу,
х²=(4√2)²+(4√2)² = 16*2 + 16*2 =64
х = 8
Ответ: 8

Bз рисунка видно, что диаметр окружности равен высоте окружности, особенно это становится очевидным, если высоту провести перпендикулярно основаниям через центр окружности. То есть получается, что высота равна двум радиусам
2*16=32
Ответ: 32

Собственно из рисунка видно, что диаметр окружности равен высоте окружности, особенно это становится очевидным, если высоту провести перпендикулярно основаниям через центр окружности. То есть получается высота равна два радиуса
2*12=24
Ответ: 24

Собственно из рисунка видно, что диаметр окружности равен высоте окружности, особенно это становится очевидным, если высоту провести перпендикулярно основаниям через центр окружности. То есть получается высота равна два радиуса
2*10=20
Ответ: 20

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.
AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD=7+14-10=11
Ответ: 11

Пусть R и D соответственно радиус и диаметр окружности, a — сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:
S = a² = D² =(2R)² =(2 * 40)² =6400
Ответ: 6400

Формула есть в справочных материалах к ОГЭ

`r=(asqrt3)/6`
`a=(r*6)/sqrt3=(2sqrt3*6)/sqrt3=12`

Если желаете копнуть глубже, пожалуйста:

Проведем еще две прямые (биссектрисы, медианы, высоты) в равностороннем треугольнике. Получим 6 прямоугольных равных  треугольников, в который один угол равен 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы. Используя теорему Пифагора можем вычислить второй катет этого треугольника и умножить на два, тем самым получив сторону треугольника.

$4\left(2\sqrt3\right)^2=\left(2\sqrt3\right)^2+x^2\\x^2=\;3\left(2\sqrt3\right)^2\\х^2=3\ast4\ast3\\х=\sqrt{36}\\х=6$
6*2=12
Ответ: 12

Лайфхак:

Чтобы найти длину стороны вписанного в окружность равностороннего треугольника, нужно число, стоящее перед корнем в условии, умножить на 6.
У нас в условии 2√3.
2*6=12

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
`S=p/2*r =50/2*4=100`
Длина одной из сторон - лишние данные, игнорируем их.
Ответ: 100

Если провести диагонали в квадрате, который вписан в окружность, то радиус окружности будет равен половине диагонали квадрата. Отсюда по теореме Пифагора можно выразить неизвестный нам радиус, который является катетом для равнобедренного треугольника с гипотенузой - стороной квадрата. И так как гипотенуза нам известна, то можно выразить будет этот самый радиус R.

Получаем:
`a^2=R^2+R^2`
`a^2=2R^2`
`R=a/sqrt2`
Теперь, подставляя в полученное равенство известную нам сторону квадрата, находим радиус окружности.
`R=a/sqrt2=(4sqrt2)/sqrt2=4`
Ответ: 4

Лайфхак:

берем число перед корнем из двух и пишем его в ответ.
Ответ: 4

Радиус окружности равен половине диаметра. В данном случае диаметром является диагональ квадрата. А значит исходя из того, что диагональ в квадрате образует два прямоугольных треугольника можно ее найти стороны, используя теорему Пифагора. 

$\left(2\ast4\surd2\right)^2=2x^2\\x^2=\frac{\left(2\ast4\surd2\right)^2}2\\x=\sqrt{\frac{\left(2\ast4\surd2\right)^2}2}\\х=\frac{2\ast4\surd2}{\sqrt2}=8$
Ответ: 8

Лайфхак:

берем число перед корнем из двух и умножаем его на 2.
4*2=8
Ответ: 8

Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны:
∠CBD = ∠CAD =  55°
∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 39° + 55° = 94°
Ответ: 94

Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны:
∠CBD = ∠CAD = 81°
∠ABC = ∠ABD + ∠CBD, отсюда
∠ABD = ∠ABC - ∠CBD
∠ABD = 134° - 81° = 53°
Ответ: 53

Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°:
∠A + ∠C = 180°, отсюда
∠C = 180 - ∠A = 180° - 82° = 98°
Ответ: 98

Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°:
∠A + ∠C = 180°, отсюда
∠C = 180 - ∠A = 180° - 81° = 99°
Ответ: 99

Посмотрим на основания трапеции как на параллельные прямые, а на боковую сторону AB как на секущую.
Тогда углы A и B - внутренние односторонние, а сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°, значит:
∠A + ∠B = 180°
∠B = 180° - ∠A
∠B = 180° - 79° = 101°
Ответ: 101

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол ACB равен 90°. 
Сумма углов треугольника равна 180°, значит
∠ABC = 180°  - 90° - 75°= 15°
Ответ: 15

2 способ на случай, если забыли то, что написано выше
∠BAC = 75°, он вписанный, значит равен половине дуги, на которую опирается, отсюда
дуга ВС = 2∠BAC = 2 * 75 = 150°
Дуга АСВ отсекается диаметром, значит она равна 180°
дуга АС = дуга АСВ - дуга ВС = 180° - 150° = 30°
∠ABC вписанный, опирается на дугу АС, а значит равен ее половине.
∠ABC = 30° / 2 = 15°
Ответ: 15

Угол ACB – вписан в окружность. Величина вписанного угла в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается. Градусная мера круга 360 °. Дуга AB – половина круга, значит ее градусная мера 360/2 = 180 °. Угол ACB опирается на дугу AB, значит угол ACB = (дуга AB) / 2 = 180 / 2 = 90 °. Теперь используя теорему Пифагора выражаем AC и подставляем значения.
$\left(2\frac{AB}2\right)^2=AC^2+CB^2\\AC^2=4\left(\frac{AB}2\right)^2-CB^2\\AC=\sqrt{4\left(\frac{AB}2\right)^2-CB^2}\\AC=\sqrt{4\ast25^2-48^2}\\AC=\sqrt{4\ast625-2304}=\sqrt{196}=14$
Ответ: 14

Формула есть в справочных материалах ОГЭ

`R=(asqrt3)/3=(2sqrt3*sqrt3)/3=2` 
Ответ: 2

Решение для особо любознательных

Достраиваем в нашем равностороннем треугольнике две высоты, которые также являются и биссектрисами. В итоге каждый угол из которого выходит высота делится пополам и для равностороннего треугольника становится равен 60º/2=30º
При этом высота перпендикулярна к основанию и мы получаем прямоугольный треугольник. А в прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. То есть BC=AC/2.
Но также при пересечении высот мы получаем и еще один меньший прямоугольный треугольник BCD, где также есть угол в 30 градусов. И опять же делаем заключение, что CD=2*BD, а CD является радиусом описанной окружности. Теперь выражаем радиус через сторону используя теорему Пифагора.

$R^2=\left(\frac{AC}2\right)^2+\left(\frac R2\right)^2\\R^2-\left(\frac R2\right)^2=\left(\frac{AC}2\right)^2\\\frac{4R^2}4-\frac R4^2=\frac{AC^2}4\\\frac{3R^2}4=\frac{AC^2}4\\3R^2=AC^2\\R^2=\frac{AC^2}3\\R=\frac{AC}{\sqrt3}$
Подставляем значение и вычисляем.
R = 2√ 3/√ 3=2
Ответ: 2

Лайфхак:

Чтобы найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, нужно в ответ записать число, стоящее перед знаком корня в условии.
У нас  2√ 3. В ответ записываем 2.

В справочных материалах ОГЭ есть формула

`R=(asqrt3)/3`
`a=(R*3)/sqrt3=(5sqrt3*3)/sqrt3=15`
Ответ: 15

Решение для глубокого понимания сути:
Проведем еще две прямые (биссектрисы, медианы, высоты) в равностороннем треугольнике.

Получим 6 прямоугольных равных  треугольников, в который один угол равен 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы. Используя теорему Пифагора можем вычислить второй катет этого треугольника и умножить на два, тем самым получив сторону треугольника.
`(5sqrt3)^2=((5sqrt3)/2)^2+x^2`
`x^2=(4(5sqrt3)^2)/4-(5sqrt3)^2/4`
`х^2=sqrt(3(5sqrt3)^2)/4`
`х=sqrt((3*25*3)/4)`
`х=sqrt(225/4)=15/2=7,5`
`7,5*2=15`
Ответ: 15

Лайфхак:

Чтобы найти длину стороны равностороннего треугольника по радиусу описанной около него окружности, нужно число, стоящее перед знаком корня в условии, умножить на 3.

У нас в условии `5sqrt3`, значит берем 5 и умножаем на 3.
5*3=15

Обозначим точку пересечения касательных как С. ∠С по условию 72°
Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому AC=BC, следовательно, треугольник ABC — равнобедренный.
Отсюда
`∠CAB = ∠CBA = (180 - ∠ACB) / 2  = (180° - 72°) / 2 = 54°`
Касательные перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания, следовательно
`∠CBO = 90°`
`∠ABO = ∠CBO - ∠CBA = 90° - 54° = 36°`
Ответ: 36

2 способ
Обозначим точку пересечения касательных как С. ∠С по условию 72°
OA и OB - радиусы, значит △OAB равнобедренный и ∠OAB=∠OBA
Сумма углов четырехугольника 360°. 2 угла прямые (так как СА и СВ - касательные, а они всегда под прямым углом к радиусу) и дают в сумме 180°.
∠AOB = 180° - 72° = 108°
Сумма углов треугольника 180°
`∠OAB = ∠ ABO = (180° - 108°)/2 = 36°`.
Ответ: 36

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90° каждый.
Сумма углов четырёхугольника равна 360°, отсюда:
∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 83° = 97°
Ответ: 97

Проведём радиус OB.
Рассмотрим треугольник AOB:
AO = OB, следовательно, углы при основании равнобедренного треугольника ∠OAB = ∠ABO = 43°.
Рассмотрим треугольник BOC:
BO = OC, следовательно,
∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 75° − 43° = 32°.
Ответ: 32

Проведем отрезки из центра окружности к точкам А и В.

∠AOB - центральный, следовательно равен градусной мере дуги,
т.е. ∠AOB=92°.
Рассмотрим треугольник AОB:
OA=OB, так как это радиусы окружности.
Получается, что данный треугольник равнобедренный. Следовательно,
∠OAB=∠OBA (по свойству равнобедренного треугольника)
По теореме о сумме углов треугольника:
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°
∠OAB = ∠OBA = (180-92) : 2 = 88 : 2 = 44°
∠OBC = 90° (по свойству касательной он перпендикулярен радиусу).
∠ABC = ∠OBC - ∠OBA
∠ABC = 90° - 44°
∠ABC = 46°
Ответ: 46

Отрезки хорд относительно точки пересечения Р и по свойству хорд:
`BP * DP = AP * PC`, отсюда
`AP=(BP*DP)/(PC)`
`AP=(15*10)/6=150/6=15`
Ответ: 15

По теореме о касательной и секущей "если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть":
`AK^2=AB*AC`
`AK^2=4*64`
`AK^2=256`
`AK=sqrt(256)=16`
Ответ: 16

По теореме о касательной и секущей:
`AK^2=AB*AC`
`AC=AB+BC=2+6=8`
`AK^2=2*8`
`AK^2=16`
`AK=sqrt(16)=4`
Ответ: 4

Проведем еще две высоты в равностороннем треугольнике. Причем высоты являются биссектрисами и медианами.

В итоге получим 6 прямоугольных треугольников, у которых есть угол в 30 градусов, а значит R =2r, то есть вся высота
`H=2r+r=3r`
`5*3=15`
Ответ: 15

Лайфхак:

Чтобы найти высоту, надо число в условии умножить на 3.
5*3=15

Сумма углов треугольника равна 180°.
Треугольник ABC — равнобедренный, следовательно
`∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2` 
Угол BAC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается.
Угол BOC — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается.
Углы BAC и BOC опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
`∠BOC = 2∠BAC = 2 * (180° - ∠ABC) / 2 = 180° - ∠ABC`
`∠BOC = 180° - 25° = 155 °`.
Ответ: 155

Сумма углов треугольника равна 180°.
Треугольник ABC — равнобедренный, следовательно
`∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2`
Угол BAC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается.
Угол BOC — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается.
Углы BAC и BOC опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
`∠BOC = 2∠BAC = 2 * (180° - ∠ABC) / 2 = 180° - ∠ABC`
`∠BOC = 180° - 123° = 57°`.
Ответ: 57

По условию задачи, четырехугольник вписан в окружность, следовательно, сумма его противоположных углов равна 180° (по свойству описанной окружности).
Т.е. ∠BAD+∠BCD=180°
∠BCD=180°-∠BAD
∠KCB является смежным углу BCD, следовательно:
∠KCB+∠BCD=180°
Подставляем значение угла BCD:
∠KCB+(180°-∠BAD)=180°
∠KCB+180°-∠BAD=180°
∠KCB+180°-180°=∠BAD
∠KCB=∠BAD
Т.е. эти углы равны.
Рассмотрим треугольники AKD и BKC.
∠BKC - общий.
∠KCB=∠BAD (это мы определили ранее)
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку подобия).
Тогда:
`(BK)/(DK) = (BC)/(AD)`
`AD = (DK*BC)/(BK)`
`AD = (12*6)/8`
`AD = 9`
Ответ: 9

Если провести в квадрате диагонали, от точки пересечения этих диагоналей до вершин квадрата получится радиус описанной окружности. А если провести из точки пересечения диагоналей высоту к одному из 4 получившихся равнобедренных прямоугольных треугольников, то получим радиус вписанной окружности, которая нам известна. Теперь руководствуясь этими выводами можно вывести соотношение радиусов вписанной и описанной окружности используя теорему Пифагора.

Получаем:
`R^2=a^2+a^2`
`R^2=2a^2`
`R=a*sqrt2`
Теперь подставляя в полученное равенство известную нам величину (радиус вписанной окружности), мы получаем радиус описанной окружности.
`R=6sqrt2*sqrt2=6*2=12`
Ответ: 12

Если провести в квадрате диагонали, от точки пересечения этих диагоналей до вершин квадрата получится радиус описанной окружности, который нам известен R. А если провести из точки пересечения диагоналей высоту к одному из 4 получившихся равнобедренных прямоугольных треугольников, то получим радиус вписанной окружности a, которую надо найти. Теперь руководствуясь этими выводами можно вывести соотношение радиусов вписанной и описанной окружности используя теорему Пифагора.

Получаем:
`R^2=a^2+a^2`
`2a^2=R^2`
`a^2=R^2/2`
`a=R/sqrt2`
Теперь подставляя в полученное равенство известную нам величину (радиус вписанной окружности), мы получаем радиус описанной окружности.
`a=R/sqrt2=(6sqrt2)/sqrt2=6`
Ответ: 6

Обобщенная теорема синусов гласит, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. При этом для треугольника АВС с радиусом описанного круга R верно соотношение:
`(AB)/sin(∠C)=2R`
`R=(AB)/(2sin(∠C))`
`sin45°=sqrt2/2`
Подставляем в формулу значение:
`R=(AB)/(2sin(∠C))=(8sqrt2*2)/(2sqrt2)=8`
Ответ: 8

Обобщенная теорема синусов гласит, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. При этом для треугольника АВС с радиусом описанного круга R верно соотношение:
`(AB)/sin(∠C)=2R`
`R=(AB)/(2sin∠C)`

`sin150°=sin30°=1/2`
Подставляем в формулу значение:
`R=26/(2*1/2)=(26*2)/2=26`
Ответ: 26

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.
∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 98°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 140° = 220°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:
градусы  длина
  140°    -    98
  220°    -     х
`140/220=98/х`
`x =  (220*98)/140`
`x = 21560/140`
`х = 154`
Ответ: 154

Круг составляет 360°, его площадь равна 90.
Пусть х - площадь сектора, центральный угол которого равен 60°. Составим пропорцию.
угол   площадь
 360°  -     90
 60°   -      х

`360/60 = 90/x`
`х=(90 * 60)/360=5400/360=15 `
Значит, площадь сектора равна 15 кв. единиц.
Ответ: 15

2 способ
Круг составляет 360°, значит центральный угол
360 : 60 = 6 - это шестая часть круга
Тогда площадь сектора будет шестой частью площади круга:
90 : 6 = 15 кв. единиц
Ответ: 15