Тренажер на задание 10 ЕГЭ по профильной математике. Задачи. ФИПИ, Ященко

Задачи на движение, на проценты (растворы, сплавы и смеси, сухие-свежие фрукты), на производительность и совместную работу - это все уже проходили и сдавали на ОГЭ по математике, а теперь будем решать расчетные задачи того же плана,  но уже в немного более усложненном виде, для ЕГЭ по профильной математике. Если прорешать к экзамену все прототипы из банка ФИПИ, можно довольно неплохо подготовиться к ЕГЭ. Собрали их для вас в этом разделе тренажера ГИАгид. Все прототипы из старого и нового банков ФИПИ.

Впишите правильный ответ.

Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

14

Ответ

За x принимаем то, что спрашивается в задаче.

Пусть `x` - скорость первого велосипедиста, тогда `x - 4` - скорость второго велосипедиста. 
`t_(перв)=140/x`
`t_(втор)=140/(x-4)`
Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=4`
`140/(x-4) - 140/x = 4`
`140x - 140(x-4)= 4x(x-4)`
`560= 4x^2-16x`
`4x^2-16x-560=0`
`x^2-4x-140=0`
`D=16-4*1*-140=576`
`x=(4+24)/(2*1)=28/2=14`
второй корень отрицательный, не подходит

Ответ: 14

iНомер: BC64EB

Впишите правильный ответ.

Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

10

Ответ


За x принимаем то, что спрашивается в задаче.

Пусть х - скорость 2-го велосипедиста, тогда `х+6` - это скорость 1-го велосипедиста.
`t_(перв)=160/(х+6)`
`t_(втор)=160/x` 
Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=6`
`160/х - 160/(х+6) = 6`
`(160х+160*6-160x)/(x^2+6x)=6`   |:6
`x^2 + 6x - 160 = 0`
По теореме Виета
`x_1+x_2=-6`
`x_1*x_2=-160`
`x_1 = 10` км/час
`x_2 = -16` (не удовлетворяет условию, поскольку число отрицательное)
Ответ: 10

iНомер: BAF165

Впишите правильный ответ.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 132 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 1 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 1 час. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в B. Ответ дайте в км/ч.

11

Ответ

В прямом направлении скорость `V = x` км/ч, в обратном `V = x+1` км/ч. 
Время, затраченное в одну сторону, `t = 132/x`,  обратно `t = 132/(x+1)`, пройденный путь в ту и другую сторону одинаковый S = 132.

Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=1`
`132/x-132/(x+1)=1`
`(132x+132-132x)/(x^2+x)=1/1`
`x^2+x=132`
`x^2+x-132=0`
`D=1^2-4*1*(-132)=23^2`

`x=(-1+23)/2=11`
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 11

iНомер: DB0573

Впишите правильный ответ.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 187 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 6 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в А. Ответ дайте в км/ч.

17

Ответ

В обратном направлении скорость `V = x` км/ч, из А в В  `V = x-6` км/ч. 
Время, затраченное в обратную сторону, `t = 187/x`, из А в В `t = 187/(x-6)`, пройденный путь в ту и другую сторону одинаковый S = 187.

Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=6`
`187/(x-6)-187/x=6`
`(187x-187x+187*6)/(x^2-6x)=6`   |:6
`x^2-6x=187`
`x^2-6x-187=0`
`D=(-6)^2-4*1*(-187)=28^2`

`x=(6+28)/2=17`
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 17

iНомер: 936503

Впишите правильный ответ.

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

52

Ответ

Для первого автомобиля:

`V=x`
`t=(2y)/x`
`S=2y`

Для второго автомобиля:

1-я половина пути
`V=x-13`
`t=y/(x-13)`
`S=y`

2-я половина пути
`V=78`
`t=y/78`
`S=y`

Составим уравнение

`t_1=t_(2-1)+t_(2-2)`
`(2y)/x=y/(x-13)+y/78`   |:y
`2/x-1/(x-13)=1/78`
`(2x-26-x)/(x^2-13x)=1/78`
`x^2-13x=78x-26*78`
`x^2-91x+26*78=0`

`D=8281-4*26*78=169=13^2`

`x_1=(91+13)/2=52` км/ч

`x_1=(91-13)/2=39` км/ч

39 не подходит по условию, так как указано, что скорость больше 48 км/ч.

Ответ: 52

iНомер: ЕГЭ 2021

Впишите правильный ответ.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 5 часов позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

10

Ответ

Для велосипеда
`V=x` км/ч
`t=60/x`
`S=60`

Для мото
`V=x+50` км/ч
`t=60/(x+50)`
`S=60`

Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=5`
`60/x-60/(x+50)=5`
`(60x+60*50-60x)/(x^2+50x)=5`  |:5
`x^2+50x=600`
`x^2+50x-600=0`
`D=2500+4*1*600=4900=70^2`

`x=(-50+70)/2=10` км/ч
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 10

iНомер: D03826

Впишите правильный ответ.

Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 25 км. Путь из A в B занял у туриста 6 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

5

Ответ

Подъем:
`V=x-1`км/ч
`t=5`
`S=5(x-1)`

Спуск:
`V=x`км/ч
`t=1`
`S=x*1`

Составим уравнение:
`S_(подъем)+S_(спуск)=25`
`5(x-1)+x*1=25`
`5x-5+x=25`
`6x=30`
`x=5` км/ч

Ответ: 5

iНомер: 4483

Впишите правильный ответ.

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город B на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 2 часа 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города B в город A велосипедист?

15

Ответ

Вело:
Полный путь
`V=y/x`
`t=x` часов
`S=y`

До встречи
`V=y/x`
`t=2,5` часов
`S=(2,5y)/x`

Мото:
Полный путь
`V=y/(x-12)`
`t=x-12` часов
`S=y`

До встречи
`V=y/(x-12)`
`t=2,5` часа
`S=(2,5y)/(x-12)`

Составим уравнение

`S_(м. до встр.)+ S_(в. до встр.)=S_(весь)`
`(2,5y)/(x-12)+(2,5y)/x=y`   |:y
`(2,5x+2,5x-30)/(x^2-12x)=1`
`x^2-12x=5x-30`
`x^2-17x+30=0`

`D=(-17)^2-4*1*30=169=13^2`

`x_1=(17+13)/2=15` часов
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 15

iНомер: 34F721

Впишите правильный ответ.

Расстояние между городами A и B равно 630 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

50

Ответ

Авто из города А
`V=x`
`t=4+3=7` ч
`S=350`

Авто из города В
`V=70`
`t=280/70=4` ч
`S=280`

`V = 350/7=50` км/ч

Ответ: 50

iНомер: 305DDD

Впишите правильный ответ.

Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 1,5 км от дома. Один идёт со скоростью 2,2 км/ч, а другой — со скоростью 4,4 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

1

Ответ

1 человек до встречи
`V=2,2`
`t=x/(2,2)`
`S=x`

2 человек
В одну сторону до конца пути
`V=4,4`
`t=(1,5)/(4,4)`
`S=1,5`

Обратно до встречи
`V=4,4`
`t=(1,5-x)/(4,4)`
`S=1,5-x`

Итак, пока первый прошел лишь часть пути до встречи, второй уже дошел до опушки и возвращался назад. Составим уравнение:

`x/(2,2)=(1,5)/(4,4)+(1,5-x)/(4,4)`
`x/(2,2)=(3-x)/(4,4)`   |*4,4
`2x=3-x`
`3x=3`
`x=1` км

Ответ: 1

iНомер: ЕГЭ 2017, 2019

Впишите правильный ответ.

Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

240

Ответ

Мото:
Из А до города С
`V=80`
`t=x/80`
`S=x` км - расстояние от А до С (за х обычно принимаем то, что указано найти в условии задачи)

Возвращение обратно из С в А то же самое:
`V=80`
`t=x/80`
`S=x` км

Авто:
От А до города С
`V=((420-x)*80)/x`
`t=x/80+1`
`S=x` км 

От С до В
`V=((420-x)*80)/x`
`t=x/80`
`S=420-x` км

t авто от А до С можно выразить двумя способами: `x/80+1` или как `t=S/v` ⇒  `x:((420-x)*80)/x=x^2/((420-x)*80)`

Составим уравнение

`x/80+1=x^2/((420-x)*80)`
`(x+80)/80=x^2/((420-x)*80)`
`x^2=420x-x^2+420*80-80x`
`2x^2-340x-420*80=0`
`x^2-170x-420*40=0`
`x^2-170x-16800=0`
`D=28900+67200=96100=310^2`
`x=(170+310)/2=240` км

Ответ: 240

iНомер: 791A06

Впишите правильный ответ.

Моторная лодка прошла против течения реки 187 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

14

Ответ

Пусть x - скорость лодки в неподвижной воде

Против течения:
`V=x-3` км/ч
`t=187/(x-3)`
`S=187` км

По течению:
`V=x+3` км/ч
`t=187/(x+3)`
`S=187` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=6`
`187/(x-3)-187/(x+3)=6/1`
`(187*x+187*3-187*x+187*3)/(x^2-9)=6`

`(6*187)/(x^2-9)=6/1   |:6`   
`x^2-9=187`
`x^2=196`
`x=±14` 
отрицательное значение нас не интересует, берем 14 км/ч

Ответ: 14 

iНомер: 5CD026

Впишите правильный ответ.

Моторная лодка прошла против течения реки 252 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

2

Ответ

Пусть x - скорость течения

Против течения:
`V=16-x` км/ч
`t=252/(16-x)`
`S=252` км

По течению:
`V=16+x` км/ч
`t=252/(16+x)`
`S=252` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=4`
`252/(16-x)-252/(16+x)=4`
`(252*16+252x-252*16+252x)/(256-x^2)=4`
`(2*252*x)/(256-x^2)=4`    |:4
`(126*x)/(256-x^2)=1/1`
`126x=256-x^2`
`x^2+126x-256=0`
По теореме Виета
`x_1+x_2=-126`
`x_1*x_2=-256`
`x_1=-128`
`x_2=2` км/ч
берем положительное значение 

Ответ: 2

iНомер: 2ED701

Впишите правильный ответ.

От пристани А к пристани B, расстояние между которыми равно 153 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним со скоростью на 8 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

9

Ответ

1 теплоход
`V=x` км/ч - скорость первого теплохода
`t=153/x` 
`S=153` км

2 теплоход
`V=x+8` км/ч
`t=153/(x+8)` 
`S=153` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=8`
`153/x-153/(x+8)=8`
`(153x+153*8-153x)/(x^2+8x)=8`   |:8
`153/(x^2+8x)=1/1`
`x^2+8x=153`
`x^2+8x-153=0`

`D=64-4*1*(-153)=26^2`

`x_1=(-8-26)/2=-17`
`x_2=(-8+26)/2=9`км/ч
берем положительное значение

Ответ: 9

iНомер: E5DDDD

Впишите правильный ответ.

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 264 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась тем же путём обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 1 час. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

22

Ответ

Туда
`V=x` км/ч - скорость баржи
`t=264/x` 
`S=264` км

Обратно
`V=x+2` км/ч
`t=264/(x+2)` 
`S=264` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=1`
`264/x-264/(x+2)=1`
`(264x+264*2-264x)/(x^2+2x)=1/1`
`x^2+2x=528`
`x^2+2x-528=0`

`D=4-4*1*-528=2116=46^2`
`x=-2+46/(2*1)=22` км/ч
берем положительное значение, отрицательное можно не считать

Ответ: 22

iНомер: 8B3972

Впишите правильный ответ.

Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 4 часа, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 22:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 8 км/ч.

2

Ответ

Пусть x - скорость течения

Туда
`V=8+x` км/ч
`t=30/(8+x)` 
`S=30` км

Обратно
`V=8-x` км/ч
`t=30/(8-x)` 
`S=30` км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=12`
`30/(8+x)+4+30/(8-x)=12`
`30/(8+x)+30/(8-x)=8`
`(240+30x+240+30x)/(64-x^2)=8`
`(2*240)/(64-x^2)=8/1`   |:8
`64-x^2=60`
`x^2=4`
`x=±2`
Отрицательное значение не берем

Ответ: 2

iНомер: C169EB

Впишите правильный ответ.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 775 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 28 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 61 час. Ответ дайте в км/ч.

3

Ответ

Пусть x - скорость течения

По течению:
`V=28+x` км/ч
`t=775/(28+x)`
`S=775` км

Против течения:
`V=28-x` км/ч
`t=775/(28-x)`
`S=775` км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=61`
`775/(28+x)+5+775/(28-x)=61`
`775/(28+x)+775/(28-x)=56`

`(775*28-775x+775*28+775x)/(784-x^2)=56`
`(2*775*28)/(784-x^2)=56/1`  |:56
`784-x^2=775`
`784-x^2-775=0`
`x^2=9`
`x=±3`
Отрицательное значение не берем

Ответ: 3

iНомер: 5059

Впишите правильный ответ.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 384 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов. Ответ дайте в км/ч.

20

Ответ

Пусть x - скорость теплохода в неподвижной воде

По течению:
`V=x+4` км/ч
`t=384/(x+4)`
`S=384` км

Против течения:
`V=x-4` км/ч
`t=384/(x-4)`
`S=384` км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=48`
`384/(x+4)+8+384/(x-4)=48`
`384/(x+4)+384/(x-4)=40`
`(384*x-384*4+384*x+384*4)/(x^2-16)=40`
`(2*384*x)/(x^2-16)=40`    |:8
`(96*x)/(x^2-16)=5/1`
`5(x^2-16)=96x`
`5x^2-96x-80=0`
`D=9216+1600=10816=104^2`
`x=(96+104)/10=20` км/ч
Отрицательный корень не нужен, можно не считать

Ответ: 20

iНомер: 2F20C1

Впишите правильный ответ.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 34 часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

756

Ответ

Пусть x - весь путь

По течению:
`V=24+3=27` км/ч
`t=x/(2*27)=x/54`
`S=x/2` км

Против течения:
`V=24-3=21` км/ч
`t=x/42`
`S=x/2` км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=34`
`x/54+2+x/42=34`
`x/54+x/42=32`
`(96x)/(54*42)=32/1`  |:32
`3x=54*42`   |:3
`x=54*14`
`x=756` км

Ответ: 756

iНомер: FE9990

Впишите правильный ответ.

Байдарка в 10 : 00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

6

Ответ

Пусть x - собственная скорость байдарки

По течению:
`V=x+3` км/ч
`t=15/(x+3)`
`S=15`км

Против течения:
`V=x-3` км/ч
`t=15/(x-3)`
`S=15`км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=8`
`15/(x+3)+1 ч 20 мин +15/(x-3)=8 ч`
`15/(x+3) +15/(x-3)=6 ч 40 мин = 20/3 ч`
`(15x-45+15x+45)/(x^2-9)=20/3` 
`(30x)/(x^2-9)=20/3`    |:10
`2x^2-18=9x`
`2x^2-9x-18=0`
`D=81+144=225=15^2`
`x=(9+15)/4=6` км/ч
Отрицательное не считаем, оно не нужно

Ответ: 6

iНомер: C08222

Впишите правильный ответ.

Расстояние между пристанями A и B равно 192 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

20

Ответ

Пусть x - собственная скорость яхты (в неподвижной воде)

По течению:
`V=x+4` км/ч
`t=192/(x+4)`
`S=192` км

Против течения:
`V=x-4` км/ч
`t=192/(x-4)`
`S=192` км

`192/(x+4) + 192/(x-4)` - время яхты в пути
`92/4 = 23` часа - время в пути плота
`23-3=20` время яхты в пути

Составим уравнение:

`192/(x+4) + 192/(x-4)=20`
`192(x-4) + 192(x+4)=20(x+4)(x-4)`
`384x=20(x^2-16)`
`20x^2-384x-320=0`  |:4
`5x^2-96x-80=0`
`D=9216-4*5*80=10816=104^2`
`x=(96+104)/2*5=20`
Второй корень отрицательный, не подходит.

Ответ: 20

iНомер: 4BA055

Впишите правильный ответ.

Весной катер идёт против течения реки в `1 2/3` раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в `1 1/2` раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

5

Ответ

Пусть x - скорость течения весной
(x-1) - скорость течения летом
V - собственная скорость
(V-x) - весной против течения
(V+x) - весной по течению
(V-(x-1)) - летом против течения
(V+(x-1)) - летом по течению

Составим систему уравнений

`{((V+x)/(V-x)=5/3), ((V+(x-1))/(V-(x-1))=3/2):}`

Выразим V
`3(V+x)=5(V-x)`
`3V+3x=5V-5x`
`8x=2V`
`V=4x`

подставляем в нижнее уравнение в системе

`(4x+x-1)/(4x-x+1)=3/2`
`10x-2=9x+3`
`x=5`

Ответ: 5

iНомер: Демоверсия 2015-2020

Впишите правильный ответ.

Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа – со скоростью 45 км/ч, а затем два часа – со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

55

Ответ

1 час
`V=115`
`t=1`
`S=V*t=115*1=115`

следующие 3
`V=45`
`t=3`
`S=45*3=135`

затем еще 2 часа
`V=40`
`t=2`
`S=40*2=80`

`V=(115+135+80)/(1+3+2)=330/6=55` км/ч

Ответ: 55

iНомер: 081941

Впишите правильный ответ.

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км – со скоростью 100 км/ч, а затем 160 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

90

Ответ

1 способ
Первые 120:
`V=60`
`t=2`
`S=120`

следующие 200:
`V=100`
`t=2`
`S=200`

еще 160 км:
`V=120`
`t=160/120=4/3`
`S=160`

`V_(ср)=(120+200+160)/(2/1+2/1+4/3)=480/(16/3)=(480*3)/16=90` км/ч

Ответ: 90

2 способ:
Берем каждый час за 1 часть и находим среднее для этих частей, тем самым определяя среднюю скорость.
`120/60 = 2` части
`200/100=2` часа (части)
`160/120=1 1/3`

`(60*2+100*2+1 1/3*120)/(5 1/3)=480/(5 1/3) = 1440/16`= 90 км/ч Для удобства подсчетов знаменатель и множитель умножили на 3, чтобы избавиться от неправильной дроби.

Ответ: 90

iНомер: 5504F2

Впишите правильный ответ.

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 800 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 33 секундам. Ответ дайте в метрах.

300

Ответ

1) `V_(сближ)=70+50=120 ` км/ч
Это то же самое, что пассажирский стоит, а скорый движется мимо него со скоростью 120 км/ч.
2) `120` км/ч = `(120*1000)/3600 = 100/3`  м/c
3) Найдем, сколько м прошел скорый поезд за 33 с
`S=100/3 * 33=1100` м

Итак, грузовой прошел 1100 метров мимо пассажирского поезда, причем, если бы он был физической точкой, то это было 800 метров, то есть лишние метры добавились благодаря его длине, где начальная и крайняя точка также были в определенное время напротив пассажирского.

`1100-800=300` метров - длина скорого поезда

Ответ: 300

iНомер: ЕГЭ 2013

Впишите правильный ответ.

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам. Ответ дайте в метрах.

200

Ответ

1) `V_(сближ)=80-50=30` км/ч
Это то же самое, что товарняк стоит, а пассажирский проезжает мимо него со скоростью 30 км/ч.

2) `30` км/ч = `(30*10000)/3600=100/12` м/с
     `2` мин = `120` с
3) То есть при скорости в 30 км/ч если бы он был физической точкой он бы за 2 минуты прошел 800 метров, но на самом деле пройденный путь
`100/12*120=1000`м

Лишние метры образовались из-за того, что пассажирский поезд тоже имеет свою длину. Тогда
4) 1000-800=200 м

Ответ: 200

iНомер: ЕГЭ 2013-2

Впишите правильный ответ.

Смешали некоторое количество 19-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

18

Ответ


Доля1*m1+Доля2*m2=Доля3*(m1+m2)

`0,19m+0,17m=x*2m`  |:m
`0,19+0,17=2x`
`0,36=2x`
`x=0,18=18%`

Ответ: 18

iНомер: 0DCA14

Впишите правильный ответ.

В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

16

Ответ

Доля1*m1+Доля2*m2=Доля3*(m1+m2)

Доля растворенного вещества в добавленной воде Доля2 = 0, так как в ней нет растворенного вещества.
`0,24*10+0*5=x*15`
`2,4=x*15`
`x=0,16=16%`

Ответ: 16

iНомер: 5FDF16

Впишите правильный ответ.

Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

18

Ответ

Доля1*m1+Доля2*m2=Доля3*(m1+m2)

`0,05*m_1+0,13*(m_1+9)=0,11*(m_1+m_1+9)`
`0,05*m_1+0,13*m_1+1,17=0,22*m_1+0,99`
`0,18=0,04*m_1`
`m_1=4,5`
`m_1+m_1+9=4,5+4,5+9=18` кг

Ответ: 18

iНомер: 72E65F

Впишите правильный ответ.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

18

Ответ

Доля1*m1+Доля2*m2=Доля3*(m1+m2)

`0,05*m_1+0,14*(m_1+10)=0,12(m_1+m_1+10)`
`0,05*m_1+0,14*m_1+1,4=0,24m_1+1,2`
`0,2=0,05*m_1`
`m_1=4`
`m_1+m_1+10=4+4+10=18` кг

Ответ: 18

iНомер: 671196

Впишите правильный ответ.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

30

Ответ


Доля1*m1+Доля2*m2=Доля3*(m1+m2)

`{(0.1m_1+0.35*m_2=0.25*150),(m_1+m_2=150):}`

Из нижнего
`m_1=150-m_2`

Из верхнего
`0,1*(150-m_2)+0,35*m_2=37,5`
`15-0,1*m_2+0,35*m_2=37,5`
`0,25*m_2=22,5`   |*4
`m_2=90`
`m_1=150-90=60` кг

`90-60=30` кг составляет разница масс

Ответ: 30

iНомер: 5AA449

Впишите правильный ответ.

Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй – 20 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 45% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

15

Ответ

Доля1*m1+Доля2*m2=Доля3*(m1+m2)

Пусть x - доля кислоты в 1-м р-ре, y - во втором.

`{(x*60+y*20=0.3*80),(xm+ym=0.45*2m):}`

Из нижнего
`x+y=0,9`
`y=0,9-x`

Из верхнего
`60x+20(0,9-x)=24`
`60x+18-20x=24`
`40x=6`
`x=6/40=(3*5)/(20*5)=0,15=15%`

Ответ: 15

iНомер: B968FE

Впишите правильный ответ.

Имеется два сосуда. Первый содержит 80 кг, а второй – 70 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 63% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 65% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

28

Ответ

Доля1*m1+Доля2*m2=Доля3*(m1+m2)
`Доля_1*m_1` - это масса растворенного вещества в первом сосуде, `Доля_2*m_2` - во втором и так далее.

`{(x*80+y*70=0.63*150),(xm+ym=0.65*2m):}`

Из нижнего
`x+y=1,3`
`y=1,3-x`

Из верхнего
`80*x+70*(1,3-x)=94,5`
`80x+91-70x=94,5`
`10x=3,5`        |:10
`x=0,35=35%`

`80x=80*0,35=28` , то есть 35% от 80 кг это `0,35*80=28` кг

Ответ: 28

iНомер: 4462

Впишите правильный ответ.

Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

15

Ответ

Доля1*m1+Доля2*m2=Доля3*(m1+m2)

`{(0.45*m_1+0.97*m_2+0*10=0.62*(m_1+m_2+10)),(0.45*m_1+0.97*m_2+0.5*10=0.72*(m_1+m_2+10)):}`

Второе минус первое:
`5=0,1*(m_1+m_2+10)` |*10
`50=m_1+m_2+10`

Выразим m2
`m_2=40-m_1`

Подставим m2 в m1
`0,45*m_1+0,97(40-m_1)=0,62*50`
`0,45*m_1+38,8-0,97*m_1=31`
`7,8=0,52*m_1`
`m_1=(7,8)/(0,52)=780/522=30/2=15` кг

Ответ: 15

iНомер: 02C0F1

Впишите правильный ответ.

Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать таких же рубашек дороже куртки?

10

Ответ

9 рубашек дешевле куртки на 10% означает, что 9 рубашек составляют 100-10=90% от стоимости куртки.
Следовательно, одна рубашка – это 90/9=10 % от стоимости куртки, а 11 рубашек 10*11=110 %
110 - 100 = 10 %
Ответ: 10

Краткое оформление:
Куртка - 100%
9 рубашек - 90 %
1 рубашка - 90:9=10%
11 рубашек 10*11=110%
110-100=10%
Ответ: 10

iНомер: 2B0545

Впишите правильный ответ.

Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

27

Ответ


Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи.
Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет
100% − 67% − 6% = 27% дохода семьи.
Ответ: 27

ИЛИ

Пусть доход мужа, жены и дочери составляет x, y и z % соответственно. Тогда первое уравнение: x+y+z=100. Если зарплату мужа увеличить вдвое (зарплата станет 2х), то общий доход увеличиться на 67 %, то есть второе уравнение будет: 2x+y+z=167. Если стипендию дочери уменьшить втрое (стипендия станет z/3), то общий доход уменьшиться на 4 %, то есть третье уравнение будет иметь вид:
`x+y+z/3=96`.
Таким образом, получаем систему уравнений:
`{(x+y+z=100),(2x+y+z=167),(x+y+z/3=96):}`
Вычтем из второго уравнения первое: `2x—x+y—y+z—z=167—100`   ⇔   `x=67`.
Вычтем из первого уравнения третье: `x—x+y—y+z—z/3=100—96`   ⇔   `(2z)/3=4`   ⇔   `z=6`.
Подставляя найденные x и z в первое уравнение, получим: `67+y+6=100`   ⇔   `y=27`.
Ответ: 27

iНомер: FD8828

Впишите правильный ответ.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 42 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?

189

Ответ
Изюм
19% воды
81 % сухого вещества		 Виноград
82% воды
18% сухого вещ.

42кг - 100%
  x   -  81%

`x=(42*81)/100` (кг)
сухого вещества
`(42*81)/100` - 18 %
          x    -100%

`x=((42*81)/100)/18=189` кг


Ответ: 189

iНомер: C7D297

Впишите правильный ответ.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

20

Ответ


Ответ: 20

Ловите лайфхак. К данным в условии процентам дописываем два нуля и извлекаем корень. Это и будет ответ.

ИЛИ

Пусть S - начальная стоимость акций, х - десятичная запись процентов, на которые дважды происходили изменения стоимости акций. (Десятичная запись процентов - это представление процентов в виде десятичной дроби, например, десятичная запись 55% равна 0,55.)

В понедельник акции подорожали на х процентов, т.е. их стоимость увеличилась на S * х и составила
S+S*x=S(1+x).

Во вторник акции подешевели на х процентов, те. их стоимость уменьшилась на S(1 + х)*х.
Цена акций стала равна
S(1 + х) — S(1 + х) * х = S(1+х)(1 — х),
что составило 100% — 4% = 96% от цены в начале недели (от S). На основании этого составим уравнение:

S(1 + x)(1 - x) = 0,96S
(1 + x)(1 - x) = 0,96
1-x2 = 0,96
x2 = 0,04

Поскольку х > 0,то х = 0,2.
Следовательно, в понедельник и во вторник стоимость акций изменялась на 20%

Ответ: 20

ИЛИ

Обозначим первоначальную стоимость акций за А. Пусть в понедельник акции подорожали на х %, поэтому они стали стоить (100 + х)% от А, то есть
`A⋅(100+x)/100`.
Во вторник они подешевели на х %, поэтому они стали стоить (100 – х) % от `A⋅(100+x)/100`, то есть `A⋅(100+x)/100⋅(100—x)/100`.
В результате акции стали стоить 96% от А:
`A⋅96/100`.
Таким образом, получаем уравнение:
`A⋅(100+x)/100⋅(100—x)/100=A⋅96/100`|:A ⇔ `(100^2—x^2)/100=96` ⇔ `10000—x^2=9600` ⇔
⇔ `x^2=400` ⇔ `x_1=20`; `x_2=—20`.

Так как x>0, то акции подорожали в понедельник на 20%.

Ответ: 20

ИЛИ

Пусть х - десятичная запись количества процентов на которые дорожали и дешевели акции.
100% = 1 – первоначальная стоимость акций;
100 – 4 = 96% = 0,96 – конечная стоимость акций.
Составим уравнение по условию задачи:
1·(1 + х)·(1 – х) = 0,96
1 – х2 = 0,96
–х2 = 0,96 – 1
–х2 = –0,04
х2 = 0,04
х = ±√0,04
х = ±0,2
Количество процентов должно быть положительным, значит акции дорожали и дешевели на 0,2 = 20%.
Ответ: 20

iНомер: 716AB2

Впишите правильный ответ.

Заказ на 140 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 4 детали больше?

10

Ответ
  Произ.  Время Кол. дет.
1 `x+4` `140/(x+4)` 140
2 `x` `140/x` 140


Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=4`
`140/x-140/(x+4)=4`
`(140x+140*4-140x)/(x^2+4x)=4/1`      |:4
`x^2+4x=140`
`x^2+4x-140=0`
`D=16-4*1*(-140)=576=24^2`
`x_1=(-4+24)/2=10` дет.
отрицательный корень не ищем

Ответ: 10

iНомер: D6FFD6

Впишите правильный ответ.

Заказ на 176 деталей первый рабочий выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 5 деталей больше, чем второй?

16

Ответ
  Произ.  Время Кол. дет
1 `x` `176/x` 176
2 `x-5` `176/(x-5)` 176


Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=5`
`176/(x-5)-176/x=5`
`(176x-176x+176*5)/(x^2-5x)=5/1`        |:5
`x^2-5x-176=0`
`D=25-4*1*(-176)=729=27^2`
`x_1=(5+27)/2=32/2=16`
отрицательный корень не ищем

Ответ: 16

iНомер: 1C7F25

Впишите правильный ответ.

Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

14

Ответ
  Произ.  Время Кол. л
1 `x-6` `112/(x-6)` 112
2 `x` `112/x` 112


`t_(медл)-t_(быстр)=6`
`112/(x-6)-112/x=6`
`(112x-112x+112*6)/(x^2-6x)=6/1`    |:6
`x^2-6x-112=0`
`D =36-4*1*(-112)=484=22^2`
`x=(6+22)/2=14`
отрицательный корень не считаем
Ответ: 14

Второй способ:
Пусть I труба х л/мин, заполняет 112 литров за 112/х минут
II труба (х+6) л/мин, заполняет 112 литров за 112/(х+6) минут
Разница 112/х - 112/(х+6) = 6

Составим уравнение
`112/x - 112/(х+6) = 6`
`112(х+6) - 112х = 6х(х+6)`
`112*6 = 6х^2 + 6*6х`
`6х^2 + 6*6х - 112*6 = 0` Делим на 6
`х^2 + 6х - 112 = 0`
`D = 62 - 4*1*(-112) = 36 + 448 = 484 = 22^2`
`x_1 = (-6-22)/2 < 0` не удовлетворяет условию задачи, не может быть отрицательным значением
`x_2 = (-6+22)/2 = 16/2 = 8`
`8+6=14` литров в минуту пропускает вторая труба

Ответ: 14

iНомер: 1E4FB8

Впишите правильный ответ.

Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 180 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?

10

Ответ
  Произв Время Кол. л
1 `x` `180/x` 180
2 `x+8` `180/(x+8)` 180


`t_(медл)-t_(быстр)=8`
`180/x-180/(x+8)=8`
`(180x+180*8-180x)/(x^2+8x)=8/1`     |:8
`x^2+8x=180`
`x^2+8x-180=0`
`D=64-4*1*(-180)=784=28^2`
`x=(-8+28)/2=10` л
отрицательный корень не ищем

Ответ: 10

iНомер: BC2088

Впишите правильный ответ.

На изготовлении 60 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 80 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

8

Ответ
  Произв Время Кол. 
1 `x+2` `60/(x+2)` 60
2 `x` `80/x` 80


`t_(медл)-t_(быстр)=4`
`80/x+60/(x+2)=4`
`(80x+160-60x)/(x^2+2)=4`
`(20x+160)/(x^2+2)=4/1`   |:4
`(5x+40)/(x^2+2)=1`
`x^2+2x=5x+40`
`x^2-3x-40=0`
`D=9-4*1*40=169`
`x=(3+13)/2=8`
отрицательный корень не имеет смысла, его не считаем

Ответ: 8

iНомер: 662145

Впишите правильный ответ.

На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

30

Ответ
  Произв Время Кол. 
1 `x` `540/x` 540
2 `x-10` `600/(x-10)` 600


`t_(медл)-t_(быстр)=12`
`600/(x-10)-540/x=12`
`(600x-540x+5400)/(x^2-10x)=12/1`
`(60x+5400)/(x^2-10x)=12/1`   |:12
`(5x+450)/(x^2-10x)=1/1`
`x^2-10x=5x+450`
`x^2-15x-450=0`
`D=225+1800=2025=45^2`
`x=(15±45)/2`
`x=60/2=30`
отрицательный корень не имеет смысла, его не ищем

Ответ: 30

iНомер: 5A6244

Впишите правильный ответ.

Петя и Митя выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов теста, а Митя — на 16. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Мити на 117 минут. Сколько вопросов содержит тест?

52

Ответ
  Произв Время Кол. 
Петя 10 в час `x/10` x
Митя 16 в час `x/16` x


`t_(медл)-t_(быстр)=117` мин или `39/20` ч
`x/10-x/16=39/20` 
`(3x)/80=39/20`   |перемножим крест накрест и :3
`20x=13*80`  |:20
`x=13*4`
`x=52`

Ответ: 52

iНомер: ЕГЭ 2017

Впишите правильный ответ.

Один мастер может выполнить заказ за 30 часов, а другой – за 15 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

10

Ответ
  Произв. Время Кол. з
1 1/30 заказа в час 30 ч 1 заказ
2 1/15 заказа в час 15 ч 1 заказ
Вместе ?  =1/10 x 1 заказ


1) `1/30+1/15=3/30=1/10` заказа в час выполнят вместе

2) `1:1/10=1*10/1=10` - t вместе

Ответ: 10

iНомер: 9CCF41

Впишите правильный ответ.

Первая труба наполняет резервуар на 13 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за 42 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

78

Ответ
  Произв. Время мин Кол. рез
1 `1/(x+13)` резервуар в минуту x+13 1 
2 `1/x` резервуар в минуту x 1 
Вместе `1/42` резервуар в минуту 42 1 


`1/(x+13)+1/x=1/42`
`(x+x+13)/(x^2+13x)=1/42`
`x^2+13x=81x+42*13`
`x^2-71x-546=0`
`D=5041+2184=7225=85^2`
`x=(71+85)/2=78`
отрицательный корень не имеет смысла

Ответ: 78

iНомер: 4E4109

Впишите правильный ответ.

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 15 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

8,4***8.4

Ответ
  Произ басс в минуту Время мин Кол басс
1и2 1/10 10 1
2и3 1/14 14 1
1и3 1/15 15 1
2*1бас +2*2бас + 2*3бас 1/10+1/14+1/15=50/210    
1и2и3 25/210 ? 1


1) Узнаем их общую производительность, помноженную на 2

`1/10+1/14+1/15=50/210`

то есть общая производительность, умноженная на 1, будет
`50/210:2 = 25/210` бассейнов в минуту

Теперь найдем время для 1 бассейна
`t=1/(25/210)=210/25=42/5=8,4`мин

Ответ: 8,4

iНомер: ЕГЭ 2016, 2017 ⭐