Тренажер на задание 2 ЕГЭ по профильной математике. Векторы. ФИПИ

Относительно новая линейка в ЕГЭ по профильной математике - векторы. Вошла в ЕГЭ в 2024 году, поэтому известных прототипов не слишком много, да и тема не предполагает их обилия. Теории на 6 строк, но это не главное. Главное, как обычно, практика, применение этой теории, отработка до автоматизма, какую формулу и где применить.

2. Впишите правильный ответ.

Даны векторы `veca`(− 13 ; 4) и `vecb`(− 6 ; 1). Найдите скалярное произведение `veca`⋅`vecb`.

82

Решение

Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

По формуле находим:
`veca*vecb=(-13)·(-6)+4·1=82`
Ответ: 82

iНомер: 0A394E

2. Впишите правильный ответ.

Длины векторов `veca` и `vecb` равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение `veca`⋅`vecb`.

7,5***7.5

Решение

Скалярное произведение `veca*vecb=|veca|*|vecb|*cosφ`, где φ - угол между векторами

`veca*vecb=|3|*|5|*cos60°=15*1/2=7,5`
Ответ: 7,5

iНомер: 238861

2. Впишите правильный ответ.

Даны векторы `veca` (1;2), `vecb`(-3;6) и `vecc` (4;-2). Найдите длину вектора `veca - vecb +vecc`.

10

Решение

Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

`veca-vecb+vecc (1-(-3)+4;2-6+(-2))=(8;-6)`
`|veca-vecb+vecc|=sqrt(8^2+(-6)^2)=sqrt100=10`
Ответ: 10

iНомер: Демоверсия 2024

2. Впишите правильный ответ.

Даны векторы `veca`(25; 0) и `vecb`(1; −5). Найдите длину вектора `veca`−4`vecb`.

29

Решение

Умножение вектора на число: если `veca(2;3)`, то `2veca(4;6)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`

`4vecb (4; −20)`
`veca−4 vecb (25-4;0+20)=(21;20)`
`|veca−4vecb|=sqrt(21^2+20^2)=sqrt841=29`
Ответ: 29

iНомер: 40B442

2. Впишите правильный ответ.

На координатной плоскости изображены векторы `veca` и `vecb`, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора `veca` +4`vecb`.

11

Решение

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Умножение вектора на число: если `veca(2;3)`, то `2veca(4;6)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

`veca(4-1;5-1)=(3;4)`
`vecb(5-3;2-3)=(2;-1)` ,
`4vecb (8;-4)`
Координаты искомого вектора будут равны сумме соответствующих координат:
`veca +4 vecb (x_1+x_2; y_1+y_2) = veca +4 vecb (3+8; 4-4) = veca  +4 vecb (11; 0)`

А теперь находим его длину
`|veca +4vecb|= sqrt(11^2+0^2)=11`
Ответ:  11

iНомер: 579B74

2. Впишите правильный ответ.

На координатной плоскости изображены векторы `veca` и `vecb`, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение `veca`⋅`vecb`.

71

Решение

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

Находим координаты вектора а, из координат его конца отнимаем координаты его начала
`veca (9-1;7-2)=(8;5)`
Находим координаты вектора b, из координат его конца отнимаем координаты его начала
`vecb (8-1;4-1)=(7;3)`
Найдем скалярное произведение векторов
`veca*vecb=8·7+5·3=71`
Ответ: 71

iНомер: E5399A