Processing math: 100%

Тренажер на задание 2 ЕГЭ по профильной математике. Векторы. ФИПИ

Относительно новая линейка в ЕГЭ по профильной математике - векторы. Вошла в ЕГЭ в 2024 году, поэтому известных прототипов не слишком много, да и тема не предполагает их обилия. Теории на 6 строк, но это не главное. Главное, как обычно, практика, применение этой теории, отработка до автоматизма, какую формулу и где применить.

2. Впишите правильный ответ.

Даны векторы →a(− 13 ; 4) и →b(− 6 ; 1). Найдите скалярное произведение →a⋅→b.

82

Решение

Скалярное произведение в координатах: если →a(x1;y1) и →b(x2;y2), то →a⋅→b=x1⋅x2+y1⋅y2

По формуле находим:
→a⋅→b=(-13)·(-6)+4·1=82
Ответ: 82

iНомер: 0A394E

2. Впишите правильный ответ.

Длины векторов →a и →b равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение →a⋅→b.

7,5***7.5

Решение

Скалярное произведение →a⋅→b=|→a|⋅|→b|⋅cosφ, где φ - угол между векторами

→a⋅→b=|3|⋅|5|⋅cos60°=15⋅12=7,5
Ответ: 7,5

iНомер: 238861

2. Впишите правильный ответ.

Даны векторы →a (1;2), →b(-3;6) и →c (4;-2). Найдите длину вектора →a- →b+→c.

10

Решение

Сложение векторов: если →a(x1;y1) и →b(x2;y2), то →a+→b=(x1+x2;y1+y2)
Длина вектора: если →a(x;y), то |→a|=√x2+y2

→a-→b+→c(1-(-3)+4;2-6+(-2))=(8;-6)
|→a-→b+→c|=√82+(-6)2=√100=10
Ответ: 10

iНомер: Демоверсия 2024

2. Впишите правильный ответ.

Даны векторы →a(25; 0) и →b(1; −5). Найдите длину вектора →a−4→b.

29

Решение

Умножение вектора на число: если →a(2;3), то 2→a(4;6)
Длина вектора: если →a(x;y), то |→a|=√x2+y2
Сложение векторов: если →a(x1;y1) и →b(x2;y2), то →a+→b=(x1+x2;y1+y2)

4→b(4; −20)
→a−4→b (25-4;0+20)=(21;20)
|→a−4→b|=√212+202=√841=29
Ответ: 29

iНомер: 40B442

2. Впишите правильный ответ.

На координатной плоскости изображены векторы →a и →b, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора →a +4→b.

11

Решение

Координаты вектора: если A(x1;y1) и B(x2;y2), то →AB(x2-x1;y2-y1)
Умножение вектора на число: если →a(2;3), то 2→a(4;6)
Сложение векторов: если →a(x1;y1) и →b(x2;y2), то →a+→b=(x1+x2;y1+y2)
Длина вектора: если →a(x;y), то |→a|=√x2+y2

→a(4-1;5-1)=(3;4)
→b(5-3;2-3)=(2;-1) ,
4→b(8;-4)
Координаты искомого вектора будут равны сумме соответствующих координат:
→a+4→b(x1+x2;y1+y2)=→a+4→b(3+8;4-4)=→a +4→b(11;0)

А теперь находим его длину
|→a +4→b|=√112+02=11
Ответ:  11

iНомер: 579B74

2. Впишите правильный ответ.

На координатной плоскости изображены векторы →a и →b, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение →a⋅→b.

71

Решение

Координаты вектора: если A(x1;y1) и B(x2;y2), то →AB(x2-x1;y2-y1)
Скалярное произведение в координатах: если →a(x1;y1) и →b(x2;y2), то →a⋅→b=x1⋅x2+y1⋅y2

Находим координаты вектора а, из координат его конца отнимаем координаты его начала
→a (9-1;7-2)=(8;5)
Находим координаты вектора b, из координат его конца отнимаем координаты его начала
→b (8-1;4-1)=(7;3)
Найдем скалярное произведение векторов
→a⋅→b=8·7+5·3=71
Ответ: 71

iНомер: E5399A