Тренажер на задание 17 ОГЭ по математике: четырехугольники

Противолежащие углы параллелограмма равны. Так как стороны параллелограмма параллельны, любую из них можно рассматривать как секущую к двум другим параллельным друг другу сторонам, а значит сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°. Тогда больший угол равен
180° - 61° = 119°.
Ответ: 119

Противолежащие углы параллелограмма равны. Так как стороны параллелограмма параллельны, любую из них можно рассматривать как секущую к двум другим параллельным друг другу сторонам, а значит сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°. Тогда меньший угол равен
180° - 102° = 78°.
Ответ: 78

В параллелограмме противолежащие углы равны.
Угол ABC — тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠BAD=∠ВСD  — меньший угол параллелограмма.
AD||BC (по определению параллелограмма), следовательно диагональ ВD можно рассматривать как секущую при параллельных прямых,
углы CВD и АDВ равны как накрест лежащие:
∠АDВ = ∠CВD
Рассмотрим треугольник АВD.
Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда:
∠ВАD = 180° - ∠АВD - ∠АDВ = 180° - ∠АВD - ∠CВD = 180° - 50° - 85° = 45°.
Ответ: 45

В параллелограмме противолежащие углы равны.
Угол ABC — тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠ABC=∠АDС  — больший угол параллелограмма.
AD||BC (по определению параллелограмма), следовательно диагональ AС можно рассматривать как секущую,
углы CAD и BCA равны как накрест лежащие.
Рассмотрим треугольник АВС.
Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда:
∠ABC= 180 - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 40° - 35° = 105°.
Ответ: 105

Обозначим точку пересечения стороны ВС биссектрисой как Е.
Углы BEA и EAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC.
Поскольку AE — биссектриса угла A,
∠BAD = 2∠BAE = 2∠BEA = 2 * 15 = 30°.
Этот угол является острым углом параллелограмма.
Ответ: 30

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 20/2 = 10
Ответ: 10

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, значит любой треугольник, полученный внутри прямоугольника, равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сумма углов треугольника равна 180°.
Учитывая вышесказанное, найдем угол между диагоналями прямоугольника:
180° - 2 * 47° = 86° - острый угол
Ответ: 86

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, значит любой треугольник, полученный внутри прямоугольника, равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сумма углов треугольника равна 180°.
Учитывая вышесказанное, найдем угол между диагоналями прямоугольника:
180° - 2 * 44° = 92° 
92° - это тупой угол, а нам нужен острый.
Сумма смежных углов, которые образуют пересекающиеся диагонали, равна 180°, значит острый угол равен
180° - 92° = 88°
Ответ: 88

Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, 
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 7 = 14
Ответ: 14

Противолежащие углы ромба равны. Так как стороны ромба параллельны, любую из них можно рассматривать как секущую к двум другим параллельным друг другу сторонам, а значит сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°. Тогда больший угол равен
180°  -  43° = 137°.
Ответ: 137

Противолежащие углы ромба равны. Так как стороны ромба параллельны, любую из них можно рассматривать как секущую к двум другим параллельным друг другу сторонам, а значит сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°. Тогда меньший угол равен
180° - 104° = 76°.
Ответ: 76

Сумма односторонних углов АBС и ВCD равна 180°, отсюда
∠ВCD = 180° - 72° = 108°.
Диагональ ромба AC является биссектрисой угла ВCD, поэтому делит его пополам
∠ACD = 108° / 2 = 54°.
Ответ: 54

2 способ для тех, кто забыл свойства диагонали ромба
По определению ромба все его стороны равны. Тогда треугольник АВС равнобедренный (ВС=ВА), а значит углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда
∠ВСА = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 72°) / 2 = 54°
ВС||АD, а СА - секущая, значит ∠ВСА = ∠САD = 54° как накрест лежащие.
Треугольник АDС так же равнобедренный (СD=АD), значит 
∠ACD = ∠САD = 54°
Ответ: 54

Острый угол ромба: 180° - 150° = 30°.
Высоту можно считать катетом образовавшегося прямоугольного треугольника, а в прямоугольном треугольнике катет напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза (сторона ромба) = 4. Катет равен 4:2=2
Ответ: 2

2-й способ
Острый угол ромба: 180° - 150° = 30°.
Площадь ромба равна S = a*h, с другой стороны S = a²sinα. Приравниваем площади, получаем:
a * h = a²sinα
h = a sinα = 4 * sin30° = 4 * 1/2 = 2
Ответ: 2

Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, в условии говорится о сумме углов при основании.
Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны.
Значит, каждый из них равен
50° / 2 = 25°.
Сумма односторонних углов трапеции равна 180°, поэтому больший угол равен
180° − 25° = 155°.
Ответ: 155

Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, в условии говорится о сумме углов при основании.
Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны.
Значит, каждый из них равен
218° / 2 = 109°.
Сумма односторонних углов трапеции равна 180°, поэтому меньший угол равен
180° − 109° = 71°.
Ответ: 71

Поскольку трапеция является прямоугольной, больший угол следует искать на другой боковой стороне (которая не образует прямых углов).
Так как сумма односторонних углов трапеции (углы при параллельных прямых и секущей) равна 180°, то больший угол в трапеции
180° - 64°  = 116°.
Ответ: 116

2 способ
Сумма углов в трапеции равна 360°, значит, больший угол равен 360° - 90° - 90° - 64° = 116°.
Ответ: 116.

Поскольку трапеция является прямоугольной, меньший угол следует искать на другой боковой стороне (которая не образует прямых углов).
Так как сумма односторонних углов трапеции (углы при параллельных прямых и секущей) равна 180°, то больший угол в трапеции
180° - 102°  = 78°.
Ответ: 78

Введем обозначения, как показано на рисунке.

Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов любого треугольника равна 180°, значит
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°,
∠АВF  = ∠ВАF , следовательно, треугольник АВF равнобедренный и 
АF = ВF = 5
Проведем высоту СЕ из угла С.
В четырехугольнике ВСЕF противолежащие стороны параллельны, а углы F и Е прямые, значит это прямоугольник. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, значит
ВF = СЕ = 5, ВС = FЕ = 6
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, то есть
∠ВАF = ∠CDE = 45°, ∠ECD = 180° - 90° - 45° = 45°, отсюда треугольник АВF = СDЕ по двум сторонам и углу между ними. Значит
АF = ЕD = 5
АD = АF + ЕD + FЕ = 2АF + FЕ = 2 * 5 + 6 = 16
Ответ: 16

Введем обозначения, как показано на рисунке.

Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов любого треугольника равна 180°, значит
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°,
∠АВF  = ∠ВАF , следовательно, треугольник АВF равнобедренный и 
АF = ВF = 5
Проведем высоту СЕ из угла С.
В четырехугольнике ВСЕF противолежащие стороны параллельны, а углы F и Е прямые, значит это прямоугольник. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, значит
ВF = СЕ = 5, ВС = FЕ 
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, то есть
∠ВАF = ∠CDE = 45°, ∠ECD = 180° - 90° - 45° = 45°, отсюда треугольник АВF = СDЕ по двум сторонам и углу между ними. Значит
АF = ЕD = 5
ВС = FЕ = АD - (АF + ЕD) = АD - 2АF = 15 - 2 * 5 = 5

Ответ: 5

Проведём вторую высоту и введём обозначения, как показано на рисунке.

Рассмотрим треугольники ABF и ЕCD, они прямоугольные,
AB = CD, BF = CЕ, ∠А = ∠D (так как трапеция равнобедренная) следовательно ∠ЕСD = ∠АВF,  а значит эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда
AF = ЕD = 8.
Высоты BF и CЕ перпендикулярны AD, значит, они параллельны, BF равно CЕ, следовательно, ВСЕF — прямоугольник, значит
BC = FЕ = AЕ - AF = 15 - 8 = 7
Ответ: 7

Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

с² = а² + b² 
b = a  ⇒ с² = 2а² 
с = √2 * а
с =  √2 * 7√2 = 7 * 2 = 14
Ответ: 14

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Она не зависит от высоты.
(3 + 9) / 2 = 6
Ответ: 6

Введём обозначения, как показано на рисунке. MN — средняя линия, AM = MB, откуда по теореме Фалеса AK = KC.
AD > ВС, значит КN > МК (как средние линии треугольников)
Рассмотрим треугольник ACD. KN — средняя линия, следовательно
KN = AD/2 = 11/2 =5,5.
Ответ: 5,5

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+7) * 4 = 40
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 40

Площадь  параллелограмма
S=ah, где а - сторона параллелограмма, а h - высота, опущенная к этой стороне.
`h=S/a`
Тогда первая высота:
`h_1=40/5=8`;
вторая высота:
`h_2=40/10=4`.
h₁ больше, ее и записываем в ответ.
Ответ: 8

И небольшой лайфхак, позволяющий сэкономить время. Если нужно узнать бо́льшую высоту, то делим только на меньшую сторону; если меньшую высоту - делим на большую сторону, а вторую считать не имеет практического смысла.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{4+10}2\ast5=35$
Ответ: 35

Так как трапеция равнобедренная,
АF = DЕ = (АD - ВС) / 2 = (9 - 3) / 2 = 3
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, а раз углы при основании получились равны, значит треугольник АВF равнобедренный и
ВF = АF = 3
$S_{АВСD}=\frac{ВС+АD}2\ast h=\frac{ВС+АD}2\ast ВF$
S_АВСD = (3 + 9) : 2 * 3 = 18
Ответ: 18

24 : 4 = 6 - длина стороны
S = a²sinα = 6² * sin 30° = 36 * 1/2 = 18
Ответ: 18

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.
Угол ABC — тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠ABC=∠ВСD  — больший угол равнобедренной трапеции.
AD||BC (по определению трапеции), следовательно диагональ AС можно рассматривать как секущую,
углы CAD и BCA равны как накрест лежащие.
Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда:
∠ABC= 180 - ∠BCA - ∠BAC  = 180° - 46° - 1° = 133°.
Ответ: 133

2 способ рассуждения
∠ВАD = ∠САD + ∠BAC = 46° + 1° = 47°
По свойству равнобедренной трапеции, углы при основании равны.
Так как ∠ВАD получился острым, то ∠ABC=∠ВСD - тупые, это и есть наибольшие углы трапеции.
AD||BC (по определению трапеции), следовательно боковую сторону AB можно рассматривать как секущую,
а сумма односторонних углов (углы при параллельных прямых и секущей) равна 180°, значит
∠ABC= 180° - ∠ВАD = 180°  - 47° = 133°
Ответ: 133

∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 35° + 58° = 93°
Трапеция ABCD - равнобедренная (т.к. AB=CD), следовательно, по свойству равнобедренной трапеции,
∠BAD = ∠ADC=93°
Рассмотрим треугольник ABD.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠BAD + ∠ABD + ∠BDA = 180°
∠ABD = 180° - ∠BDA - ∠BAD
∠ABD = 180° - 93° - 35°
∠ABD = 52°
Ответ: 52

`S=a^2`, где а  -  сторона квадрата.
`S=(3sqrt2)^2=3^2*(sqrt2)^2=9*2=18`
Ответ: 18

`P=4a`   ⇒    `a=P/4`
`160/4=40` - сторона квадрата
`S=a^2=40^2=1600`
Ответ: 1600

1 способ


Так как ABCD - параллелограмм, то AВ = CD.
Пусть точка К - середина стороны CD.
Так как по условию точка Е - середина стороны АВ, то
AE = BE = DK = KC .
ВС  = АD = ЕК (средняя линия)
∠В = ∠АЕК - соответственные углы
∠В = ∠D - противолежащие углы параллелограмма
∠D = ∠ЕКС - соответственные ⇒
отрезки AK, KE и EC разбивают параллелограмм на 4 равновеликих треугольника (по двум сторонам и углу между ними) ⇒
S_DAK = S_АКЕ = S_КЕС = S_ВСЕ = 180 / 4 = 45
Площадь трапеции состоит из трёх равновеликих треугольников ⇒
S_DAEC = 45 * 3 = 135 кв.ед.
Ответ: 135

Лайфхак для быстрого решения: площадь параллелограмма разделим на 4 и умножим на 3
S_{трапеции} = S_{паралл.} : 4 * 3

2 способ


Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
`S_(ACВ)=180/2= 90`.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
`S_(CВE)=1/2 S_(ACВ)= 90/2=45`. Следовательно,
S_AECD = S_ABCD - S_CDE = 180 - 45 = 135.
Ответ: 135

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
`S_(ACВ)=140/2=70`.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
`S_(CВE)=1/2S_(ACВ)=70/2=35`
Ответ: 35

h - высота ромба, она равна удвоенному расстоянию от точки пересечения диагоналей ромба до стороны.
S = аh = 7 * 2 * 3 = 42
Ответ: 42

`S=(d_1*d_2)/2=(14*6)/2=42`
Ответ: 42

Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
`(AO)/(OC)=(AD)/(BC)=7/3`
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 7:3, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 7+3=10 равных частей, 7 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
`AO=20/10*7=14`
Ответ: 14

2 способ
Рассмотрим треугольники AOD и BOC.
По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых.
Тогда: ∠DAO=∠BCO (накрест лежащие углы), ∠AOD=∠BOC (вертикальные углы).
Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Следовательно, можем записать пропорцию:
`(AD)/(BC)=(AO)/(OC)`
`7/3=(AO)/(OC)`
`7*OC=3*AO`
При этом
`AO+OC=AC=20`
`OC=20-AO`,
подставляем это равенство в ранее полученную пропорцию:
`7*(20-AO)=3*AO`
`140-7*AO=3*AO`
`140=7*AO+3*AO`
`140=10*AO`
`AO=140/10=14`
Ответ: 14