Тренажер на задание 24 ОГЭ по математике: докажите, что... (геометрия)

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°, поэтому ∠DAB +∠ BCD=180º.
Углы MAD и DAB образуют развёрнутый угол, значит, ∠MAD+∠DAB=180º.
Из приведённых равенств получаем, что ∠BCD=∠MAD.
Рассмотри треугольники MBC и MDA, угол M  — общий, углы BCD и MAD равны, следовательно, треугольники подобны. Что и требовалось доказать.

Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. Заметим, что соотношения в треугольниках CBD и ADB:
`(BC)/(BD)=(BD)/(AD)`
`5/10=10/20` , BD - общая сторона, которая имеет прилежащий равный угол  ∠CBD=∠BDA и отношение со смежной стороной 1:2 и в другом треугольнике 2:1.
Следовательно, эти треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.

Воспользуемся теоремой: если отрезок АВ виден из точек С и D, лежащих по одну сторону от прямой АВ, под одним и тем же углом, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности (см. рис.). А тогда ∠ABD = ∠ACD как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD. Что и требовалось доказать.

Введём обозначения, как показано на рисунке.

Проведём высоту EN через точку K. Поскольку LM  — средняя линия, LM параллельно AD и параллельно BC. Отрезки AL и BL равны, следовательно, по теореме Фалеса, EK=EN.
`S_(ΔBCE) = 1/2 * BC * EK`
`S_(ΔAED) = 1/2 * AD * KN`
Найдём сумму площадей этих треугольников и сравним с площадью трапеции по формуле, где площадь равна половине суммы оснований умноженная на высоту:
`S_(ΔAED)+S_(ΔBCE)=1/2*BC*EK+1/2*AD*NE=1/2*BC*NE+1/2*AD*NE=1/2*NE(BC+AD)=1/2*(KN)/2(BC+AD)`
отсюда видно, что сумма площадей треугольников равна половине площади трапеции. Что и требовалось доказать.

Поставим точку Е и проведем стороны треугольника. Из вершины Е треугольников построим высоты. Площадь параллелограмма равна основание умноженное на высоту.
`S_(ABCD)=KN*AD`, теперь выразим площадь двух треугольников AED и BEC.
`S_(BEC)+S_(AED)=1/2*NE*AD+1/2*KE*BC=1/2*AD(NE+KE)=1/2AD*KN`
Отсюда видно, что площадь двух треугольников равна половине площади трапеции. Что и требовалось доказать.

Поставим точку Е и проведем среднюю линию трапеции. При этом мы знаем, что площадь трапеции равна сумме оснований, умноженная на высоту и все это поделить на 2, то есть
`S_(ABCD) = 1/2*(BC+AD)*H`
Теперь найдем площадь треугольников DEF и CEF 
`S_(ECD)=S_(DEF)+S_(CEF)=1/2*H/2*EF+1/2*H/2*EF=2*1/2*H/2*EF=1/2*H*EF=1/2*H*(BC+AD)/2`
Из этого равенства видно, что площадь этих двух треугольников как раз и равна площади трапеции. Что и требовалось доказать.

Если отрезок AB имеет лучи отрезки исходящие из его концов к точкам А1 и B1, лежащих по одну сторону от прямой AB, под одним и тем же углом (90°), то точки A, B, А1, B1 лежат на одной окружности:
Тогда углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ вписанные в окружность, опираются на одну и туже дугу ‿AB1, значит они равны:
∠AA₁B₁ = ∠ABB₁
Что и требовалось доказать.

По определению параллелограмма основание BC параллельно AD, AК  — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы BКA и КAD равны как накрест лежащие.
Поскольку ∠BКA=∠BAК, треугольник ABК  — равнобедренный, откуда AB=BК.
Аналогично, треугольник CКD  — равнобедренный и КC=CD.
Стороны AB и CD равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:
AB=BК=КC=CD.
Таким образом, точка E  — середина стороны BC. Что и требовалось доказать.

Проведём высоты BH и CK, они равны. Площадь треугольника ABD: 
`S_(ABD)=1/2*AD*BH`
Площадь треугольника ACD: 
`S_(ACD)=1/2*AD*CK`
Поскольку высоты BH и CK равны, равны и площади треугольников ABD и CAD. Однако в этих треугольниках есть общая составляющая, это треугольник AOD, то есть если из площади треугольника ABD вычесть площадь треугольник AOD, то будет получена площадь треугольника ABO. И также если из площади треугольника ACD вычесть площадь AOD, то будет площадь COD. Из этого можно сделать заключение, что треугольники ABO и COD равны.
`S_(AOB)=S_(ABD)-S_(AOD)=S_(CAD)-S_(AOD)=S_(COD)`.
Что и требовалось доказать.

Поскольку угол ACB тупой, основания высот A₁ и B₁ будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно.
Диагонали четырёхугольника AA₁B₁B пересекаются, поэтому он выпуклый.
Поскольку ∠AA₁B = ∠AB₁B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA₁B и AB₁B вписан в окружность с диаметром AB.
Это означает, что все вершины четырёхугольника AA₁B₁B лежат на одной окружности.
Тогда углы ∠AB₁A₁ и ∠ABA₁ равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A₁A.
Аналогично, ∠BA₁B₁ = ∠BAB₁. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

Решение 2
Поскольку угол ACB тупой, основания высот A₁ и B₁ будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно.
Диагонали четырёхугольника AA₁B₁B пересекаются, поэтому он выпуклый. 
Треугольники ACA₁ и BCB₁ подобны по двум углам, поскольку ∠AA₁C = ∠BB₁C  =  90°, ∠ACA₁ = ∠BCB₁ равны как вертикальные.
Значит, указанные треугольники подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

Треугольники BOP и DOQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:
BO  =  OD, поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам,
∠BOP=∠DOQ как вертикальные, ∠PBO= ∠ODQ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей BD.
Из равенства треугольников следует равенство их сходственных сторон:
BP = DQ. Что и требовалось доказать.

В задаче возможны два случая.

Первый случай, AD  — одно из оснований.
Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке.
Рассмотрим треугольники OBH и BOK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB  — общая, следовательно, треугольники равны.
Откуда OH  =  OK.
Аналогично из треугольников KOC и COL получаем, что OK  =  OL.
Таким образом, OH  =  OK  =  OL. Что и требовалось доказать.

Вариант задачи 2
Второй случай, AD  — одна из боковых сторон. Несмотря на другую геометрическую конфигурацию, доказательство полностью повторяет доказательство для первого случая.

Проведём медиану JK треугольника AJB.
 
Стороны AJ и BJ равны как радиусы окружности, поэтому треугольник ABJ  — равнобедренный, следовательно, медиана JK является также высотой.
Проведём медиану IK. Стороны AI и BI равны как радиусы окружности, поэтому треугольник ABI  — равнобедренный, следовательно, медиана IK является также высотой.
Прямые JK и IM перпендикулярны одной и той же прямой AB, следовательно, они параллельны.
Эти прямые проходят через одну и ту же точку M, значит, они совпадают.
Таким образом, прямая AB перпендикулярна прямой IJ. Что и требовалось доказать.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке.

Пусть 
`(PQ)/(QK)=m/n`
Рассмотрим треугольники PKM и QKN, они прямоугольные, углы PKM и NKQ равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
`(PM)/(QN)=(PQ)/(QK)=m/n`
Отношение радиусов равно отношению m:n. Что и требовалось доказать.

Проведём KO параллельно AB.
Тогда AB = BK = KC.
Следовательно, параллелограмм ABKO является ромбом. Диагональ AK ромба ABKO является биссектрисой угла BAO. Что и требовалось доказать.