Тренажер на задание 3 ЕГЭ по профильной математике. Стереометрия первой части, ФИПИ, Ященко

Стереометрия - раздел геометрии, работает с объемными фигурами, поэтому гораздо сложнее для восприятия и понимания,  чем планиметрия. Но теорем в ней меньше, чем в планиметрии, по крайне мере касательно школьной программы и требований ЕГЭ. Мы собрали прототипы заданий по стереометрии первой части ЕГЭ с кратким ответом из заданий ФИПИ. Любой из них может вам попасться на реальном ЕГЭ по профильной математике.

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

15

Решение

V параллелепипеда = ab*h  (произведению его граней)
Из объема всего параллелепипеда вычтем объем кусочка 1:1:3.
`V = 3*2*3-1*1*3=15`
Ответ: 15

iНомер: 79A288

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

12

Решение

V параллелепипеда = ab*h  (произведению его граней)
Разобъем многогранник на части и вычислим объем как сложение объемов этих частей.
Размеры первой части: высота 5, ширина 1, длина 3-1=2. Размеры второй части 1,1,2.
`V = 5*2*1+1*1*2=12`
Ответ: 12

iНомер: 0630DF

3. Впишите правильный ответ.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

112

Решение

Площадь прямоугольника равна произведению двух сторон.

`(6-2)/2=2` длина неизвестных сторон (плечики фигуры)
`S_(пов.) = 2*4*7+(2*2+6*2)*2+6*4=56+32+24=112`
Ответ: 112

iНомер: 0CD226

3. Впишите правильный ответ.

В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 найдите угол между прямыми 𝐴𝐶 и 𝐵𝐵1. Ответ дайте в градусах.

90

Решение

Прямые AC и BB1 не пересекаются. Но СС1||BB1 , значит можем перенести BB1 параллельным переносом на прямую СС1.

Достроили сечение, получили прямоугольник. Угол ACC1 = 90°.
Ответ: 90

iНомер: 09E9B4

3. Впишите правильный ответ.

В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 найдите угол между прямыми 𝐵𝐴1 и 𝐷1𝐶1. Ответ дайте в градусах.

45

Решение

BA1 и D1C1 не пересекаются, D1C1||A1B1, значит можно перенести D1C1 в A1B1  параллельным переносом.

Проведем диагональ A1B. Получим треугольник A1BB1 равнобедренный и прямоугольный.
`∠ BA_1B_1=(180-90)/2=45°`
Ответ: 45

iНомер: 0A2A44

3. Впишите правильный ответ.

В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 найдите угол между прямыми 𝐶𝐷1 и 𝐴𝐷. Ответ дайте в градусах.

90

Решение

Прямые CD1 и AD не пересекаются. AD||BC, значит можем перенести AD на прямую BC параллельным переносом. Нужно найти ∠BCD1.

Достроим искомый угол BCD1 до четырехугольника BCD1A1 Это прямоугольник, значит, ∠BCD1 = 90° 
Ответ: 90

iНомер: DC1005

3. Впишите правильный ответ.

В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 найдите угол между прямыми A1D и B1D1. Ответ дайте в градусах.

60

Решение

A1D и B1D1 не пересекаются. Проведем диагональ BD и перенесем на нее прямую B1D1 параллельным переносом.
Получается, надо найти угол BDA1. Достроим сечение.

Получается равносторонний треугольник (все его стороны - диагонали квадратов, образующих куб), а в равностороннем треугольнике углы равны `180/3=60°`.
Ответ: 60

iНомер: 21B915

3. Впишите правильный ответ.

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 1,5. Найдите объём куба.

12

Решение

Отношение площадей `S_(больш.Δ)/S_(мал.Δ) = k^2`

1) Рассмотрим сторону ABCD


ΔCEK∼ΔBCD
`k=2`
`S_(BCD)/S_(CEK) = 2^2`
То есть в ΔBDC войдет 4 треугольника KEC, а в четырехугольник - 8 треугольников KEC.

2) `V_(куба) = 8*V_(приз) = 8*1,5=12`
Ответ: 12

iНомер: 4437

3. Впишите правильный ответ.

Диагональ куба равна `sqrt12`. Найдите его объем.

8

Решение

Диагональ куба `d = sqrt3 a`
Объем куба `V=a^3`

1 способ
1) `sqrt12=sqrt3*a`
    `a=sqrt4=2`
2) `V=2^3=8`

2 способ, когда забыл формулу диагонали куба
Построим треугольник, он прямоугольный, диагональ куба - гипотенуза.
или
1) Рассмотрим боковую сторону куба - квадрат. Диагональ образует равнобедренный прямоугольный треугольник
     `BC=sqrt(a^2+a^2) = sqrt(2a^2) = sqrt2 * a`
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образуемый диагональю куба
     `CD = sqrt(a^2+sqrt(2a)^2) = sqrt(3a^2) =sqrt3 * a`
3) `sqrt12 = sqrt3*a`
     `a=2`
4) `V =2^3=8`
Ответ: 8

iНомер: ЕГЭ 2014

3. Впишите правильный ответ.

Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

10

Решение

Отношение площадей `S_(больш.Δ)/S_(мал.Δ) = k^2`

ΔCEK∼ΔBCD
`k=2`
`S_(BCD)/S_(CEK) = 2^2`
То есть в ΔBDC войдет 4 треугольника KEC, а в четырехугольник - 8 треугольников KEC.
`V_(приз)=1/8V_(куба)=1/8*80=10`
Ответ: 10

iНомер: F51D9A

3. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐵𝐵1=16, 𝐴1𝐵1=2, 𝐴1𝐷1=8. Найдите длину диагонали 𝐴𝐶1.

18

Решение


1) ΔABC  `AC=sqrt(2^2+8^2) =sqrt68`
2) ΔACC1 `AC_1=sqrt(16^2+sqrt68^2) =sqrt324=18`
Ответ: 18

iНомер: D6AA89

3. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины рёбер: 𝐴𝐵=28, 𝐴𝐷=16, 𝐴𝐴1=12. Найдите синус угла между прямыми 𝐷𝐷1 и 𝐵1𝐶.

0,8***0.8

Решение

DD1 и B1C, DD1 || BB1, перенесем 𝐷𝐷1 на BB1 параллельным переносом.
∠BB1C - искомый угол.
1) ΔBB1C:   `B_1C=sqrt(12^2+16^2)=sqrt400=20`
2) `sin∠BB_1C = 16/20=0,8`
Ответ: 0,8

iНомер: 0628B5

3. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины рёбер: 𝐴𝐵=15, 𝐴𝐷=8, 𝐴𝐴1=21. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины 𝐵, 𝐵1 и 𝐷.

357

Решение

1) BDD1B1 - сечение

2) ΔABD:  `BD=sqrt(15^2+8^2) = sqrt(255+64)=sqrt289=17`
3) `S_(BDD_1B_1) = 21*17=357`
Ответ: 357

iНомер: 22DA45

3. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵=5, 𝐵𝐶=4, 𝐴𝐴1=3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1.

30

Решение

Объем параллелепипеда
V = abh


`V_(мн.)=1/2*V_(пар)=1/2*3*4*5=30`
Ответ: 30

iНомер: 32AF22

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐷, 𝐴1, 𝐵, 𝐶, 𝐵1 прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, у которого 𝐴𝐵=3, 𝐴𝐷=4, 𝐴𝐴1=5.

30

Решение

Объем параллелепипеда V = abh


`V_(мн.)=1/2*V_(пар.)=1/2*3*4*5=30`
Ответ: 30

iНомер: C352F6

3. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины рёбер: 𝐴𝐵=7, 𝐴𝐷=3, 𝐴𝐴1=4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶1.

35

Решение

1) ΔBCC1: `BC_1=sqrt(3^2+4^2)=5`
2) `S_(ABC_1D_1) =7*5=35`
Ответ: 35

iНомер: 4335

3. Впишите правильный ответ.

Найдите угол 𝐴𝐵𝐷1 прямоугольного параллелепипеда, для которого 𝐴𝐵=5, 𝐴𝐷=4, 𝐴𝐴1=3. Ответ дайте в градусах.

45

Решение

1) ΔABD1 - прямоугольный.

2) ΔAA1D1:    `AD_1=sqrt(4^2+3^2) =5`
3) ΔABD1 - прямоугольный и равнобедренный.
`∠ABD_1=(180-90)/2=45°`
Ответ: 45

iНомер: ЕГЭ 2014

3. Впишите правильный ответ.

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы.

42

Решение

Площадь прямоугольного треугольника
`S=(ab)/2`
Объем призмы
`V = S_(осн)*h`

1) `S=(2*7)/2=7`
2) `V = 7*6=42`
Ответ: 42

iНомер: C2CADE

3. Впишите правильный ответ.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 7, объём призмы равен 56. Найдите боковое ребро призмы.

4

Решение

Площадь прямоугольного треугольника
`S=(ab)/2`
Объем призмы
`V = S_(осн)*h`

1)  `S=(4*7)/2=14`
2) `56 = 14*h`
    `h = 4`
Ответ: 4

iНомер: 872654

3. Впишите правильный ответ.

В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1, все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямыми 𝐴𝐴1 и 𝐵𝐶1.

45

Решение

1) AA1 и BC1 не пересекаются, перенесем AA1 на BB1 параллельным переносом.
Тогда искомый угол ∠B1BC1
2) Рассмотрим ΔB1BC1, он прямоугольный и равнобедренный.
Тогда углы у основания `(180-90)/2 =45` º
Ответ: 45

iНомер: C0F645

3. Впишите правильный ответ.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 15.

60

Решение

Объем призмы V=Sосн*h
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Соотношение объемов между треугольными призмами будет равно соотношению площади треугольников (низ рисунка), так как они являются площадью основания, а высота у них одинаковая.
Причем, так как это средняя линия, то она меньше основания треугольника в 2 раза, и высота треугольника тоже меньше в 2 раза, то есть площадь треугольников соотносится как 1:4
15*4=60
Ответ: 60

iНомер: 817F71

3. Впишите правильный ответ.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 48, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

12

Решение

Объем призмы
`V = S_(осн)*h`
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату подобия.

1) `V_(больш.приз) = 48 =S_(больш.Δ)*h`
2) `(S_(больш.Δ))/(S_(мал.Δ))=2^2  ⇒  S_(мал.Δ)=1/4*S_(больш.Δ)`
3) `V_(мал.приз) = S_(мал.Δ)*h = 1/4*S_(больш.Δ)*h =1/4*48=12`
Ответ: 12

iНомер: 4374

3. Впишите правильный ответ.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 37. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

74

Решение

Обозначим стороны маленького треугольника за a b c.
1) `S_(бок.пов.мал.) = ah+bh+ch=37`
2) `S_(бок.пов.бол.) = 2ah+2bh+2ch=2(ah+bh+ch)=2*37=74`
Ответ: 74

2 способ:
Площади боковых граней (прямоугольные) исходной призмы в 2 раза больше, чем у отсеченной, так как средняя линия делит боковую сторону пополам. Значит, площадь боковой поверхности исходной призмы в 2 раза больше.
2*37=74
Ответ: 74

iНомер: AB1F5D

3. Впишите правильный ответ.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

37,5***37.5

Решение

Обозначим стороны маленького треугольника за a b c
1) `S_(бок.пов.бол.) = 2ah+2bh+2ch=2(ah+bh+ch)=75`
2) `S_(бок.пов.мал.) = ah+bh+ch=75/2=37,5`
Ответ: 37,5

iНомер: 5DADB7

3. Впишите правильный ответ.

В правильной четырёхугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐵𝐷1=2𝐴𝐷. Найдите угол между диагоналями 𝐷𝐵1 и 𝐶𝐴1. Ответ дайте в градусах.

60

Решение

Правильная четырехугольная призма - это прямоугольный параллелепипед у которого основания квадраты, а боковые грани - равные прямоугольники. Отсюда следует, что диагонали тоже равны, и в точке пересечения делятся пополам. При этом по условию  𝐵𝐷1=2𝐴𝐷, значит половина диагонали равна стороне.

Обозначим пересечение диагоналей точкой О
`ΔA_1OB_1` равносторонний, значит
`∠A_1OB_1=60`º
Ответ: 60

iНомер: A629B5

3. Впишите правильный ответ.

В правильной четырёхугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 ребро 𝐴𝐴1 равно 15, а диагональ 𝐵𝐷1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки 𝐴, 𝐴1 и 𝐶.

120

Решение


Правильная четырехугольная призма - это прямоугольный параллелепипед у которого основания квадраты, а боковые грани - равные прямоугольники.
1) ΔBDD1:  `BD=sqrt(17^2-15^2)=sqrt64=8`
                  AC=8
2) `S_(AC C_1A_1) =15*8=120`
Ответ: 120

iНомер: ЕГЭ 2015

3. Впишите правильный ответ.

В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1, все рёбра которой равны 3, найдите угол между прямыми 𝐶𝐷 и 𝐸1𝐹1. Ответ дайте в градусах.

60

Решение

𝐶𝐷 и 𝐸1𝐹1 не пересекаются, перенесем CD на C1D1 параллельным переносом.
Продолжим прямые F1E1 и C1D1 до пересечения в точке K.
1) ∠E1KD - искомый
2)
∠KE1D1=180°-120°=60°
∠KD1E1=180°-120°=60° ⇒  ∠E1KD1=180°-2*60°=60°
Ответ: 60

iНомер: 257041

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐷1, 𝐸1, 𝐹1 правильной шестиугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

12

Решение

Площадь части основания правильного шестиугольника, равная отсеченному треугольнику, равна 1/6 части от всего основания: `S_(ABC) = 1/6*S`
Объем призмы `V = S_(осн)*h`


1) `S_(FED)=1/6*8=4/3`
2) `V=4/3*9=12`
Ответ: 12

iНомер: 02836B

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины 𝐴, 𝐶, 𝐷, 𝐹, 𝐴1, 𝐶1, 𝐷1, 𝐹1 правильной шестиугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11.

66

Решение

Площадь части основания правильного шестиугольника, равная прямоугольнику между четырьмя вершинами напротив друг друга, равна 2/3 части от всего основания: `S_(ACDF) = 2/3*S`
Объем призмы  `V = S_(осн)*h`


1) `S_(ACDF) = 2/3*9=6`
2) `V_(иск) = 6*11=66`
Ответ: 66

iНомер: BCD10D

3. Впишите правильный ответ.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12 π, а диаметр основания равен 6. Найдите высоту цилиндра.

2

Решение

Площадь боковой поверхности
`S = 2πRh`

1) `S_(бок)=2πRh=12π`
`6=Rh`
`6=3h`
`h=2`
Ответ: 2

iНомер: B29C5A

3. Впишите правильный ответ.

Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

4,5***4.5

Решение

Объем цилиндра
`V = πR^2h`

1) `V_1 = πR^2h`
2) `V_2 = π(3R)^2*h/2 = 9/2*πR^2*h=4,5πR^2*h`
3) `V_2/V_1=(4,5πR^2*h)/(πR^2*h)=4,5`
Ответ: 4,5

iНомер: 4BD794

3. Впишите правильный ответ.

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

12

Решение

Объем цилиндра
`V = πR^2h`

Диаметр в 2 раза больше, значит радиус также в 2 раза больше.
1 сосуд `V_(вод)=πR^2*48`
2сосуд `V_(вод)=π(2R)^2*h`
`πR^2*48=4πR^2*h`
`48=4*h`
`h=12`
Ответ: 12

iНомер: 0BE824

3. Впишите правильный ответ.

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

50

Решение

Объем цилиндра
`V = πR^2h`

1 сосуд  `V_(вод)=πR^2*2`
2сосуд  `V_(вод)=π(R/5)^2*h`
`πR^2*2=(πR)/25*h`
`2=h/25`
`h=50`
Ответ: 50

iНомер: BDAC50

3. Впишите правильный ответ.

В цилиндрический сосуд налили 500 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.

100

Решение

Объем цилиндра
`V = πR^2h`

1) `V_(вод)=πR^2*h=500`
2) `V_(вод)+V_(дет) =1,2*V_(вод)`
    `500+V_(дет) =1,2*500`
    `500+V_(дет) =600`
    `V_(дет) =100`
Ответ: 100

Логическое решение:
`V = πR^2h`, значит, если h увеличить в 1,2 раза, то и объем увеличится в 1,2 раза и станет равен 600.
Объем детали равен разности конечного и начального объемов:
600-500=100 куб. см
Ответ: 100

iНомер: EBB312

3. Впишите правильный ответ.

В цилиндрический сосуд налили 2800 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.

2275

Решение

Объем цилиндра
`V = πR^2h`

`h_1=16` см
`h_2=16+13=29` см
1) `V_(вод) = 2800=πR^2*16`
    `πR^2=175`
2) `V_(вод)+V_(дет) = πR^2*29`
    `2800+V_(дет) = 175*29`
    `V_(дет) = 5075-2800=2275`
Ответ: 2275

iНомер: 791637

3. Впишите правильный ответ.

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

9

Решение

Объем цилиндра
`V = πR^2h`

1) `V_1 = πR^2h=12`
2 `V_2 = π(R/2)^2*3h=3/4*πR^2h=9`
Ответ: 9

iНомер: ЕГЭ 2017, 2019

3. Впишите правильный ответ.

Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей – 25. Найдите высоту конуса.

15

Решение

`25^2=20^2+h^2`
`h^2=225`
`h=15`
Ответ: 15

iНомер: 50FCF3

3. Впишите правильный ответ.

Высота конуса равна 21, а длина образующей равна 29. Найдите диаметр основания конуса.

40

Решение

`29^2=21^2+r^2`
`r^2=400`
`r=20`
`d=20*2=40`
Ответ: 40

iНомер: 0ABBF1

3. Впишите правильный ответ.

Высота конуса равна 24, а диаметр основания равен 90. Найдите образующую конуса.

51

Решение

`l^2=24^2+45^2`
`l^2=2601`
`l=51`
Ответ: 51

iНомер: E29891

3. Впишите правильный ответ.

Площадь основания конуса равна 36𝜋, высота – 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

60

Решение

Площадь круга
`S = πR^2`
Площадь треугольника
`S=1/2ah`

1) `S_(осн.) = 36π=πR^2`
    `R=6`
2) `S_(сеч.) = 1/2*12*10=60`
Ответ: 60

iНомер: 4377

3. Впишите правильный ответ.

Высота конуса равна 40, а длина образующей – 58. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

1680

Решение

Площадь треугольника
`S = 1/2*a*h`

1) `58^2=40^2+R^2`
   `R^2=58^2-40^2=(58-40)(58+40)=18*98=9*196`
   `R=3*14=42`

2) `S_(тр)=1/2*84*40=1680`
Ответ: 1680

iНомер: 4440

3. Впишите правильный ответ.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

3

Решение

Объем конуса
`V = 1/3πR^2h`

1) `V_1=1/3*πR^2h`
2) `V_2=1/3*πR^2h/3=1/3*1/3*πR^2h`
в 3 раза
Ответ: 3

Аналитическое решение:
Объем конуса `V = 1/3πR^2h`, то есть объем прямо пропорционален высоте. Значит, если высоту уменьшить в 3 раза, то и объем уменьшится в 3 раза.

iНомер: ЕГЭ 2019

3. Впишите правильный ответ.

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 8 раз, а высоту оставить прежней?

64

Решение

Объем конуса
`V = 1/3πR^2h`

1) `V_1 = (1/3πR^2h)`
2) `V_2 = 1/3π(8R)^2h=64*(1/3πR^2h)`
в 64 раза
Ответ: 64

Аналитическое решение:
Объем прямо пропорционален радиусу в квадрате, значит, если радиус увеличить в 8 раз, то объем увеличится в 82=64 раза.

iНомер: F9E66F

3. Впишите правильный ответ.

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

3

Решение

Площадь боковой поверхности конуса
`S = πRl`

1) `S_1 = πRl`
2) `S_2 = πR*3l=3*πRl`
в 3 раза
Ответ: 3

Аналитическое решение:
Площадь боковой поверхности конуса прямо пропорциональна длине образующей, значит, если образующую увеличить в 3 раза, то и площадь увеличится в 3 раза.

iНомер: ЕГЭ 2018

3. Впишите правильный ответ.

Площадь основания конуса равна 48. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

3

Решение

Площадь круга:
`S = πR^2`

1) K подобия конусов = `16/4=4`
2) K подобия конусов = `R_б/R_м =4` => пусть R - радиус маленького круга, 4R - радиус большого круга.
3) `S_(б.круга) = 48 = π(4R)^2`
`48=16πR^2`
`πR^2 =3`
4) `S_(м.круга) = πR^2 =3`
Ответ: 3

iНомер: 4419

3. Впишите правильный ответ.

Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

12,6***12.6

Решение

Площадь поверхности конуса
`S = πR^2+πRl`

1) `K_(подобия конусов) = (5x)/(3x)=5/3=R_(бол)/R_(мал)=l_(бол)/l_(мал)`

2) `S_(пов. бол.) = 35=π(5/3R)^2+π*5/3*R*5/3*l`
`35=25/9*πR^2+25/9*πRl`
`35=25/9(πR^2+πRl)`
`πR^2+πRl = (35*9)/25=63/5=12,6`

3) `S_(пов. мал.) = πR^2+πRl=12,6`
Ответ: 12,6

iНомер: 0C55B6

3. Впишите правильный ответ.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

342

Решение

Отношение объемов подобных конусов
Отношение объемов подобных конусов
`V_1/V_2 = k^3`

1) `k=h/(2/3h)=3/2`
2) `V_б/144 = (3/2)^3`
`V_б =(27*144)/8=486`
3) `V_(иск) =486-144=342`
Ответ: 342

iНомер: 06254C

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐶, 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 правильной треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

12

Решение

Объем пирамиды
`V = 1/3*S_(осн.)*h`


Этот многогранник - пирамида.
`V_(A_1B_1C_1C) = 1/3*4*9=12`
Ответ: 12

iНомер: C6FDB6

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐵1 прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, у которого 𝐴𝐵=9, 𝐵𝐶=3, 𝐵𝐵1=8.

или

72

Решение

Объем пирамиды
`V = 1/3*S_(осн.)*h`

`V = 1/3*3*9*8=72`
Ответ: 72

iНомер: 5188

3. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=7 , BC=6 , AA1=5 . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1.

105

Решение

ABCA1B1C1 - треугольная приза, объем которой равен `S_(основания)*h`.
Объем параллелепипеда тоже равен `S_(основания)*h`.
Но площадь треугольного основания в 2 раза меньше, чем прямоугольного, так как сечение проходит по диагонали основания четырехугольника.
То есть пирамида по объему в два раза меньше, тогда
`(7*6*5)/2=105`

iНомер: B1EBED

3. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵=6, 𝐵𝐶=5, 𝐴𝐴1=4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐵1.

20

Решение

Объем пирамиды
`V = 1/3*S_(осн.)*h`


`V = 1/3*(6*5)/2*4=20`
Ответ: 20

iНомер: B28DB5

3. Впишите правильный ответ.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 равен 116. Точка 𝐸− середина ребра 𝑆𝐵. Найдите объём треугольной пирамиды 𝐸𝐴𝐵𝐶.

29

Решение

Объем пирамиды
`V = 1/3*S_(осн.)*h`
1) `V_(SABCD)=1/3*S_(ABCD)*h=116`
    `S_(ABCD)*h=116*3=348`
2) `V_(EABC) = 1/3 * S_(ABC)*h/2=1/3*1/2*S_(ABCD)*1/2*h=1/12*S_(ABCD)*h=1/12*348=29`
Ответ: 29

iНомер: 943A2F ⭐

3. Впишите правильный ответ.

В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с вершиной 𝑆 точка 𝑂− центр основания, 𝑆𝑂=35, 𝑆𝐷=37. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷.

24

Решение

Правильная пирамида – это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания (в точку пересечения биссектрис многоугольника в основании).

ΔSAO
`AO=sqrt(37^2-35^2) = sqrt((37-35)(37+35))=sqrt144=12`
`AC=2*12=24=BD`
Ответ: 24

iНомер: C026C8

3. Впишите правильный ответ.

В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 боковое ребро 𝑆𝐶 равно 37, сторона основания равна `35sqrt2`. Найдите объём пирамиды.

9800

Решение

Объем пирамиды
`V = 1/3*S_(осн.)*h`


1) ΔABC:
`AC=sqrt((35sqrt2)^2+(35sqrt2)^2)=sqrt(35^2*2+35^2*2)=sqrt(4*35^2)=2*35=70`, значит половина диагонали = 35
2) ΔSOC:
`SO=sqrt(37^2-35^2)=sqrt((37-35)(37+35))=sqrt144=12`
3) `V=1/3(35sqrt2)^2*12=1225*8=9800`
Ответ: 9800

iНомер: 0940E2

3. Впишите правильный ответ.

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.

2,5***2.5

Решение

Правильная пирамида – это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник (в четырехугольной пирамиде это квадрат), а её высота падает в центр основания (в точку пересечения биссектрис многоугольника в основании).

1) ΔABC:
`AC=sqrt(10^2+10^2)=sqrt200=sqrt(100*2)=10sqrt2`, значит половина диагонали = `5sqrt2`
2) ΔAОS:
для удобства счета 7,5 представим как `15/2`
`OS=sqrt((15/2)^2-(5sqrt2)^2) =sqrt(225/4-50/1)=sqrt(25/4)=2,5`
Ответ: 2,5

iНомер: 59DC27

3. Впишите правильный ответ.

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.

16

Решение

Объем пирамиды
`V = 1/3*S_(осн.)*h`


1) ΔCOS:
`OC=sqrt(4^2-2^2)=sqrt12=2sqrt3`
2) ΔABC:
`(4sqrt3)^2=x^2+x^2`
`48=2x^2`
`x^2=24`
3) `V=1/3*24*2=16`
Ответ: 16

iНомер: F26E93

3. Впишите правильный ответ.

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

1

Решение


kподобия треугольников = 2, значит сторона сечения равна 2:2=1
Sсеч.=1*1=1
Ответ: 1

iНомер: 4482

3. Впишите правильный ответ.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

3,5***3.5

Решение

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника.
`R = (sqrt3*a)/3` или через высоту `R = 2/3*h`

1) `R=sqrt3*(10,5)/3=3,5sqrt3=(7sqrt3)/2`
2) `h=sqrt(7^2-((7sqrt3)/2)^2) = sqrt(49/1-(49*3)/4)=sqrt(49/4)=3,5`
Ответ: 3,5

iНомер: 9726B0 ⭐

3. Впишите правильный ответ.

Объём треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию её основания проведена плоскость (см. рисунок). Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

19,5***19.5

Решение

Объем пирамиды
`V=1/3*S_(осн)*h`
Отношение площадей подобных треугольников
`S_1/S_2=k^2`

1) `V_(бол)=1/3*S_(осн. бол.)*h=78` ⇒  `S_(осн. бол.)*h=234`
2) `V_(мал)=1/3*S_(осн. мал.)*h=1/3*1/4*S_(осн. бол.)*h=1/12*234=19,5`
Ответ: 19,5

iНомер: 06A191 ⭐

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A , B , C , C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

18

Решение

ABCC1 - это пирамида, объем которой равен `1/3*S_(основания)*h`
Объем призмы равен `S_(основания)*h`, то есть пирамида по объему в три раза меньше, тогда
`(6*9)/3=18`

iНомер: BE03FA

3. Впишите правильный ответ.

Дана правильная четырёхугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴1, 𝐵1.

14

Решение

Объем пирамиды
`V=1/3*S_(осн)*h`


Многогранник 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴1, 𝐵1. - это пирамида с основанием ABB1A1 (прямоугольник), вершиной C и высотой CB.
1) AB*CB=6
У правильной четырехугольной призмы основания - квадраты ⇒ `AB=CB=sqrt6`
2) `V_(AB B_1A_1C)=1/3*AB*BB_1*CB=1/3*sqrt6*7*sqrt6=14`
Ну или в формуле видим, что есть AB*BB1*CB и подставляем вместо AB*CB 6.
Ответ: 14

iНомер: EFF329

3. Впишите правильный ответ.

Дана правильная треугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐶, 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1.

32

Решение

ABCB1 - это треугольная пирамида, объем которой `V=1/3*S_(основания) *h`
Объем призмы равен `S_(основания)*h`.

`V_(приз.)=8*6=48`
`V_(ABCB_1)=1/3*8*6=16`
Объем ACA1B1C1 находится как разность объемов призмы и пирамиды
`V=48-16=32`
Ответ: 32

iНомер: F277BE

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины 𝐴, 𝐶, 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 правильной треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1. Площадь основания призмы равна 7, а боковое ребро равно 9.

42

Решение

Объем пирамиды
`V=1/3*S_(осн)*h`
Объем призмы
`V = S_(осн)*h`

1) `V_(призм) = 7*9=63`
2) Найдем объем отсекаемой пирамиды

`V_(ABCB_1) = 1/3*7*9=21`

3) Найдем объем искомой фигуры

`V_(иск) = 63-21=42`
Ответ: 42

iНомер: 805979

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины 𝐴, 𝐶, 𝐴1, 𝐵1 правильной треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1. Площадь основания призмы равна 9, а боковое ребро равно 4.

12

Решение

Объем пирамиды
`V=1/3*S_(осн)*h`

Многогранник с вершинами  𝐴, 𝐶, 𝐴1, 𝐵1:

По рисунку видно, что остальные части призмы - пирамиды A1B1C1C (с основанием A1B1C1) и ABCB1 (с основанием ABC).
1) `V_(призм)=9*4=36`
2) `V_(ABCB_1)=1/3*9*4=12`
3) `V_(A_1B_1C_1C)=1/3*9*4=12`
4) Найдем объем искомой фигуры
`V_(иск)=36-12-12=12`
Ответ: 12

iНомер: D4DB81 ⭐

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐷, 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1, 𝐷1, 𝐸1, 𝐹1 правильной шестиугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.

8

Решение

Объем пирамиды
`V=1/3*S_(осн)*h`


`V=1/3*12*2=8`
Ответ: 8

iНомер: 362938

3. Впишите правильный ответ.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины 𝐴1, 𝐵1, 𝐹1, 𝐴 правильной шестиугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.

10

Решение

Объем пирамиды
`V=1/3*S_(осн)*h`
Площадь части основания правильного шестиугольника, равная отсеченному треугольнику, равна 1/6 части от всего основания.


1) `S_(A_1B_1F_1)=1/6*12=2`
2) `V_(иск)=1/3*2*15=10`
Ответ: 10

iНомер: 285ADD

3. Впишите правильный ответ.

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды.

6

Решение

Радиус окружности, описанной около равностороннего шестиугольника, равен стороне этого шестиугольника.


1) `R=2,5`
2)

`h=sqrt(6,5^2-2,5^2)=sqrt(42,25-6,25)=6`
Ответ: 6

iНомер: 5912F6

3. Впишите правильный ответ.

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

4

Решение

Площадь поверхности шара:
`S=4πR^2`

1) `S_(пов м)=4πR^2`
2) `S_(пов б)=4π(2R)^2=4*4πR^2`
в 4 раза
Ответ: 4

iНомер: 4290

3. Впишите правильный ответ.

Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.

3

Решение

Площадь круга:
`S=πR^2`
Площадь поверхности шара:
`S=4πR^2`

1) `S_(пов.ш.)=12=4πR^2` => `πR^2=3`
2) `S_(круг)=πR^2=3`
Ответ: 3

iНомер: ЕГЭ 2019

3. Впишите правильный ответ.

Дано два шара. Радиус первого шара в 13 раз больше радиуса второго. Во сколько раз объём первого шара больше объёма второго?

2197

Решение

Объем шара:
`V=4/3*πR^3`

1) `V_б=4/3*π(13R)^3=2197*4/3πR^3`
2) `V_м=4/3*πR^3`
в 2197 раз
Ответ: 2197

iНомер: 4332

3. Впишите правильный ответ.

Дано два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше диаметра второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

64

Решение

Площадь поверхности шара:
`S=4πR^2`

1) `S_(сф.мал)=4πR^2`
2) `S_(сф.мал)=4π(8R)^2=64*4πR^2`
в 64 раза
Ответ: 64

iНомер: ЕГЭ 2014

3. Впишите правильный ответ.

Радиусы двух шаров равны 9 и 12. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

15

Решение

Площадь поверхности шара:
`S=4πR^2`


1) `S_(пов_1)=4π*9^2=324π`
2) `S_(пов_2)=4π*12^2=576π`
3) `S_(пов_3)=324π+576π=900π`
4) `S_(пов_3)=900π=4πR_(нов)^2`
    `R_(нов)^2=225`
    `R_(нов)=15`
Ответ: 15

iНомер: 320DAF

3. Впишите правильный ответ.

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объём этого шара, делённый на 𝜋.

4,5***4.5

Решение

Объем шара:
`V=4/3*πR^3`


1) `R=3/2`
2) `V=4/3*π(3/2)^3=9/2π=4,5π`
Ответ: 4,5

iНомер: 4DADB3

3. Впишите правильный ответ.

Куб описан около сферы радиуса 2. Найдите объём куба.

64

Решение

Объем куба
`V=a^3`

1) `a=2R=2*2=4`
2) `V=4^3=64`
Ответ: 64

iНомер: 4479

3. Впишите правильный ответ.

Шар, объем которого равен 35𝜋, вписан в куб. Найдите объём куба.

210

Решение

Объем куба
`V=a^3`
Объем шара:
`V=4/3*πR^3`

1) `V_ш=4/3*πR^3=35π`
    `R^3=35*3/4=105/4`
2) `V_к=(2R)^3=8*R^3=8*105/4=210`
Ответ: 210

iНомер: ЕГЭ 2014

3. Впишите правильный ответ.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 16. Найдите его объём.

32768

Решение

Объем прямоугольного параллелепипеда
`V=abh`

Сторона параллелепипеда равна диаметру вписанной сферы, как и его высота

`a=b=h=16*2=32`
`V=32^3=(2^5)^3=2^15=2^10*2^5=1024*32=32768`
Ответ: 32768

iНомер: 7D0E46

3. Впишите правильный ответ.

Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.

75

Решение

Объем шара:
`V=4/3*πR^3`
Объем цилиндра
`V=πR^2h`

1) `V_ш=50=4/3*π*R^3`
    `π*R^3=(50*3)/4=75/2`
2) `V_ц=π*R^2*2R=2*πR^3=2*75/2=75`
Ответ: 75

iНомер: FCCBC9 ⭐

3. Впишите правильный ответ.

Шар, объем которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.

27

Решение

Объем шара:
`V=4/3*πR^3`
Объем цилиндра
`V=πR^2h`

1) `V_ш=18=4/3*π*R^3`
    `π*R^3=(18*3)/4=27/2`
2) `V_ц=π*R^2*2R=2*πR^3=2*27/2=27`
Ответ: 27

2 способ:
Объем шара 
`V=4/3*π*r^3`
Объем цилиндра
`V=2π*r*h`
`h=2r`, тогда
`V=π*r^2*2r=2π*r^3`
Объемы относятся как 4/3 и 2, то есть объем цилиндра больше в 2:4/3=1,5 раза
18*1,5=27
Ответ: 27

iНомер: 6D5AF2 ⭐

3. Впишите правильный ответ.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

72

Решение

Площадь поверхности шара:
`S=4πR^2`
Площадь поверхности цилиндра
`S_ц=2πR^2+2πRh`

1) `S_(пов.ш.)=48=4πR^2`
    `πR^2=12`
2) `h=2R`
`S_(полн. пов. ц.)=2πR^2+2πR*2R=6πR^2=6*12=72`
Ответ: 72

iНомер: AFD872

3. Впишите правильный ответ.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2. Найдите образующую конуса.

20

Решение


Образующая
`l=sqrt((10sqrt2)^2+(10sqrt2)^2)=sqrt(200+200)=20`
Ответ: 20

iНомер: F4AA43

3. Впишите правильный ответ.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 50√2. Найдите радиус сферы.

50

Решение

Высота и радиус основания конуса равны радиусу сферы

`(50sqrt2)^2=R^2+R^2`
`2500*2=2R^2`
`R^2=2500`
`R=50`
Ответ: 50

iНомер: 2A5773

3. Впишите правильный ответ.

Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.

188

Решение

Объем шара:
`V=4/3*πR^3`
Объем конуса:
`V=1/3*πR^2h`

1) `V_(кон)=47=1/3*πR^2*R`
    `πR^2=141`
2) `V_ш=4/3*141=188`
Ответ: 188

iНомер: 857802

3. Впишите правильный ответ.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57.

171

Решение

Объем конуса:
`V=1/3*πR^2h`
Объем цилиндра
`V=πR^2h`
значит, объем цилиндра больше в 3 раза:
`V_ц=57*3=171`
Ответ: 171

iНомер: 267D7F

3. Впишите правильный ответ.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объем конуса.

6

Решение

Объем конуса:
`V=1/3*πR^2h`
Объем цилиндра
`V=πR^2h`

1)`V_ц=18=πR^2h`
2)`V_(кон)=1/3*πR^2h=1/3*18=6`
Ответ: 6

2 способ:
Объем конуса:
`V=1/3*πR^2h`
Объем цилиндра
`V=πR^2h`
То есть, объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра, в который он вписан
18:3=6
Ответ: 6

iНомер: D8F984

3. Впишите правильный ответ.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

5

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра
`S_ц=2πrh`
Площадь поверхности конуса
`S_к=πrl`

`S_ц=2πrh=2πr^2=5sqrt2`
`πr^2=(5sqrt2)/2`
При этом 
`l^2=R^2+R^2`
`l=sqrt(2R^2)=Rsqrt2`
`S_к=πR*R sqrt2=πR^2 sqrt2=(5sqrt2*sqrt2)/2=5`
Ответ: 5

iНомер: 37164B

3. Впишите правильный ответ.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра.

1

Решение

Объем прямоугольного параллелепипеда 
`V= abh`

`36=6*6*h`
`h=1`
Ответ: 1

iНомер: A57713

3. Впишите правильный ответ.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

32

Решение

Объем прямоугольного параллелепипеда 
`V= abh`

`V=4*4*2=32`
Ответ: 32

iНомер: 7BEA25

3. Впишите правильный ответ.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны 2/𝜋. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

90,5***90.5

Решение

Объем цилиндра
`V=πR^2h`
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
`R=c/2`, где с - гипотенуза и диаметр

1) треугольник в основании призмы:
   Гипотенуза `c=sqrt(10^2+9^2)=sqrt181`
2) `R=sqrt181/2`
3) `V_ц=π*(sqrt181/2)^2*2/π=181/4*2=90,5`
Ответ: 90,5

iНомер: E7964C

3. Впишите правильный ответ.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 2√3, а высота равна 2.

36

Решение

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника
`R=(sqrt3*a)/3`

1) `R=(sqrt3*a)/3=2sqrt3`
   `a=2*3=6`
2) `S_(пов. бок.) =3*6*2=36`
Ответ: 36

iНомер: ЕГЭ 2017