Тренажер на задание 13 ЕГЭ база по математике (стереометрия), ФИПИ

Одно из самых сложных, по мнению учеников, заданий базового ЕГЭ по математике - стереометрия. На самом деле не так страшна стереометрия, как ее малюют. Прототипы заданий систематически повторяются на каждом ЕГЭ, а это значит, что всего лишь нужно разобрать их все и запомнить, как решаются. Тогда и на реальном ЕГЭ базовом вы сможете решить то же самое, но с другими числами. Мы выбрали ВСЕ ПРОТОТИПЫ заданий 13-й линейки ЕГЭ база из открытого банка заданий ФИПИ. На реальном ЕГЭ по математике обычно выдают аналогичные задания, возможно, с другими числами. Многие формулы из стереометрии есть в справочных материалах к ЕГЭ, и они будут у вас перед глазами на экзамене. Главное - научитесь ими пользоваться. Впишите ответ и активируйте проверку, чтобы свериться с верными ответами.

13. Впишите правильный ответ.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 2, а объём параллелепипеда равен 6. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

22

Решение

Объем параллелепипеда высчитывается как произведение трех его ребер, формула есть в справочных материалах к ЕГЭ:
V=abc
6=1*2*с
с=3 - третье ребро
Площадь параллелепипеда - это сумма площадей всех сторон:
2(2*1)+2(2*3)+2(3*1)=4+12+6=22
Ответ: 22

Номер по ФИПИ: CDF902

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра DA, DC и диагональ DA1 боковой грани равны соответственно 2, 6 и `2sqrt10`. Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

72

Решение

Находим 3 ребро по теореме Пифагора (теорема есть в справочных материалах ЕГЭ):
`(2sqrt(10))^2=a^2+2^2`
a²=4*10-4
a=6 - третье ребро параллелепипеда
Формула объема параллелепипеда есть в справочных материалах ЕГЭ:
V=abc
6*2*6=72
Ответ: 72

Номер по ФИПИ: CEB64B

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 7. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

70

Решение

Находим площадь основания. Основание - треугольник. Формула площади треугольника есть в справочных материалах ЕГЭ:
S_тре.= 1/2 ah_а,
поскольку треугольник прямоугольный, а - катет, и высота совпадает со вторым катетом.
S_тре.= 1/2 * 5 * 7 = 17,5
Формула объема призмы есть в справочных материалах ЕГЭ:
V_приз. = S_осн.* h
17,5*4=70
Ответ: 70

Номер по ФИПИ: 44AF0E 21D1AA

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна `3sqrt5`. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.

45

Решение

Находим катет по теореме Пифагора (формула есть в справочных материалах ЕГЭ):
`x^2=(3sqrt5)^2-3^2`
x²= 45 - 9 = 36
x = 6
Находим площадь основания призмы как площадь прямоугольного треугольника (формула есть в справочных материалах ЕГЭ):
S_тре.= 1/2 ah_а,
1/2 *3 * 6 = 9
Находим объем призмы (формула есть в справочных материалах ЕГЭ):
V_приз. = S_осн.* h
9 * 5 = 45
Ответ: 45

Номер по ФИПИ: 490442

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а высота этой призмы равна `4sqrt3`. Найдите объём призмы ABCA₁B₁C₁.

12

Решение

В правильной призме в основании правильный треугольник. Находим площадь треугольника, который является основанием
Площадь такого треугольника можно найти по формуле, которая есть в справочных материалах ЕГЭ:
`S=(a^2*sqrt3)/4=(2^2*sqrt3)/4=sqrt3`
Тогда объем призмы (формула есть в справочных материалах ЕГЭ):
`V=S_(осн.)h=sqrt3*4sqrt3=4*3=12`
Ответ: 12

Номер по ФИПИ: FBD845

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если AB=3, AC=18 и AD=7.

63

Решение

Объем любой пирамиды можно найти по формуле из справочных материалов к ЕГЭ:
`V=1/3*S*h`, где S - площадь основания, а h - высота.
Находим площадь основания из условия, что это прямоугольный треугольник - рёбра AB и AD взаимно перпендикулярны по условию (формула есть в справочных материалах ЕГЭ):
S_ADB= 1/2 ah_а,
1/2*3*7=10,5
Высота совпадает со стороной AC, так как по условию АС перпендикулярна основанию. Находим объем пирамиды:
`V=1/3*10,5*18=63`
Ответ: 63

Номер по ФИПИ: FE7FF2

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 4, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно `3sqrt3`. Найдите объём пирамиды S_ABC.

12

Решение

Объем пирамиды можно найти по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
`V=1/3*S_(осн.)*h`, где S - площадь основания, h - высота.
Находим площадь основания из условия, что это правильный треугольник (равносторонний). По формуле площади правильного треугольника (формула есть в справочных материалах ЕГЭ) получаем:
`S=(a^2*sqrt3)/4=4sqrt3`
Высота дана в условии - она совпадает с боковым ребром, поскольку оно перпендикулярно основанию, можем найти объем пирамиды:
`V=1/3*4sqrt3*3sqrt3=12`
Ответ: 12

Номер по ФИПИ: 362D41

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 9 и 4. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 48.

4

Решение

Объем пирамиды можно найти по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
`V=1/3*S*h`, где S - площадь основания, h - высота.
Отсюда, зная объем, можно узнать высоту.
Находим площадь основания из условия, что это прямоугольник:
S=9*4=36
Подставляем известные данные в формулу объема
`48=1/3*36*h`
`h=48*3/36=4` - высота пирамиды
Ответ: 4

Номер по ФИПИ: 8BB444

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно `2sqrt11`.

32

Решение

Объем пирамиды можно найти по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
`V=1/3*S*h`, где S - площадь основания, h - высота.
С площадью квадрата в основании проблем не будет, а высоту придется поискать. Делаем для наглядности дополнительные построения:

Находим диагональ основания по теореме Пифагора:
`x^2=4^2+4^2`
`x=sqrt32`
`x=4sqrt2`,
тогда половина диагонали равна `2sqrt2`.
Находим высоту (по теореме Пифагора)
`h^2=(2sqrt11)^2-(2sqrt2)^2`
`h^2=4*11-4*2`
`h^2=44-8=36`
`h=6`
Находим объем
`V=1/3*S*h=1/3*4*4*6=32`
Ответ: 32

Номер по ФИПИ: FB0748

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна `3sqrt3`. Найдите объём этой пирамиды.

3

Решение

Объем пирамиды можно найти по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
`V=1/3*S*h`, где S - площадь основания, h - высота.
Находим площадь основания из условия, что это правильный треугольник (равносторонний). По формуле площади правильного треугольника (формула есть в справочных материалах ЕГЭ) получаем:
`S=(a^2*sqrt3)/4=(2^2*sqrt3)/4=sqrt3`
Находим объем
`V=1/3*sqrt3*3sqrt3=3`
Ответ: 3

Номер по ФИПИ: 1B20B4

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

180

Решение

Так как основание - правильный треугольник, то все стороны пирамиды - равнобедренные треугольники.
Найдем площадь одной из боковых сторон по формуле Герона (формулы нет в справочных материалах ЕГЭ):
`S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))`
p-полупериметр, a,b,c - стороны треугольника
`S=sqrt(18(18-10)(18-13)(18-13))=sqrt(18*5*5*8)=60`
Узнаем площадь всей боковой поверхности
60*3=180
Ответ: 180

Номер по ФИПИ: BD79F1 1387BB

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

288

Решение

Так как основание - правильный шестиугольник, то все стороны пирамиды - равнобедренные треугольники.
Найдем площадь боковой стороны по формуле Герона (формулы нет в справочных материалах, ее нужно запомнить):
`S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))`
p-полупериметр, a,b,c - стороны треугольника
`p = (12+10+10)/2=32/2=16`
`S=sqrt(16(16-12)(16-10)(16-10))=sqrt(16*4*6*6)=48`
Узнаем площадь всей боковой поверхности
48*6=288
Ответ: 288

Номер по ФИПИ: 514C0F

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

6

Решение

Для цилиндра объем находится по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
V = π·r²·h
Так, для первого цилиндра
V = π·2²·6=24π
Для второго
V = π·6²·4=144π
Находим отношения
`(144π)/(24π)=6` раз
Ответ: 6

Номер по ФИПИ: 0EF144 19D0E6

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго цилиндра?

12

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле из справочных материалов ЕГЭ
S_бок = 2πR * H, где R — радиус основания, H — высота цилиндра.
Находим для первого
S_бок = 2π*4*18=144π
Для второго
S_бок = 2π*2*3=12π
Находим соотношение
`(144π)/(12π)=12`
Ответ: 12

Номер по ФИПИ: 346AF2 703717

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 7. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 20. Найдите площадь этого сечения.

210

Решение

Образующая в прямом цилиндре равна высоте цилиндра и равна одной из сторон сечения.
Теперь находим вторую сторону. Дополним построение, соединив центр основания с точкой сечения, лежащей на этой же окружности. Получим прямоугольный треугольник, где катет равен 20 (это расстояние до сечения), гипотенуза = 25 (радиус окружности) и x - это это второй катет и половина второй стороны сечения, которую нам надо найти.
x²=25²-20²
x²=625-400
`x = sqrt225`
х = 15
Находим площадь сечения
15*2*7=210
Ответ: 210

Номер по ФИПИ: 1DD343

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Объём конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса.

5

Решение

Объем конуса можно найти по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
`V=1/3*π*r^2*h`, где `π*r^2` - площадь основания (круга), а h - высота конуса.
Из этой формулы найдем r
`r = sqrt((3*V)/(π*h))`
`r = sqrt((3*25*π)/(π*3))`
`r=sqrt25=5`
Ответ: 5

Номер по ФИПИ: FD1543

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Объём конуса равен 9π, а радиус его основания равен 3. Найдите высоту конуса.

3

Решение

Объем конуса можно найти по формуле, которая есть в справочных материалах ЕГЭ:
`V=1/3*π*r^2*h`, где π*r² - площадь основания, а h - высота.
Из этой формулы найдем h
`h = (3*V)/(π*r^2)`
`h = (3*9*π)/(π*r^2)=3`
Ответ: 3

Номер по ФИПИ: C4C408 95DD7C

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 9, а второго — 2 и 2. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?

4,5

Решение

Объем конуса можно найти по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
`V=1/3*π*r^2*h`, где π*r² - площадь основания, а h - высота.
Подсчитаем объем для первого конуса
`V_1=1/3*π*2^2*9=12π`
Для второго
`V_2=1/3*π*2^2*2=8/3π`
Соотнесем объемы.
`12:8/3=36/8=4,5`
Ответ: 4,5

Номер по ФИПИ: 568EF9

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?

...

Решение

Формула площади боковой поверхности есть в справочных материалах ЕГЭ:
S_бок = π * r * l, где S_бок — площадь боковой поверхности, r — радиус основания конуса, l — образующая конуса.
Подсчитаем боковую поверхность для первого конуса
S_бок1 = π * r * l = π * 4 * 6 = 24π
Для второго
S_бок2 = π * r * l = π * 2 * 8 = 16π
Соотнесем площади
`(24π)/(16π)=1,5`
Ответ:1,5

Номер по ФИПИ: 7B394C

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Объём конуса равен 192. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

3

Решение

Объем конуса можно найти по формуле из справочных материалов ЕГЭ
`V=1/3*π*r^2*h` , где `π*r^2` -площадь основания, а h - высота.
Отношение радиусов будет равно отношению высот большого конуса и маленького. Тогда можно записать объем для большого конуса
`V_1=1/3*π*r^2*h`
и для маленького с учетом, что его h является третьей частью (1:3), то есть всего 4 части и 1/4 часть приходится на высоту маленького конуса.
`V_2=1/3*π*(1/4*r)^2*1/4*h`
а отсеченная часть будет разность между объемом большого и малого конуса
`V_(отсеч)=1/3*π*r^2*h -1/3*π*(1/4*r)^2*1/4*h=1/3*π*r^2*h (1-1/16*1/4)=1/3*π*r^2*h*63/64`
Тогда мы видим, что это 63/64 от нашего объема конуса (то есть получили формулу выше с коэффициентом 63/64) и высчитываем Vотсеч.
`192*63/64=189` это объем отсеченного. При этом
192-189=3 это объем отсеченного маленького конуса
Ответ: 3

Номер по ФИПИ: F7C4F4 ⭐

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10.

270

Решение

Объем конуса можно найти по формуле
`V=1/3*π*r^2*h` , где `π*r^2` - площадь основания, а h - высота.
Отношение радиусов будет равно отношению высот большого конуса и маленького. Тогда можно записать объем для большого конуса
`V_1=1/3*π*r^2*h`
и для маленького с учетом, что его h является частью (1:2), то есть всего 3 части и 1/3 часть приходится на высоту маленького конуса.
`V_2=1/3*π*(1/3*r)^2*1/3*h`
а отсеченная часть будет разность между объемом большого и малого конуса
`V_(отсеч)=1/3*π*r^2*h - 1/3*π*(1/3*r)^2*1/3*h=1/3*π*r^2*h (1-1/9*1/3)=1/3*π*r^2*h*26/27`
...мы видим, что это 26/27 от нашего объема большого конуса (то есть получили формулу выше с коэффициентом 26/27) и это и есть Vотсеч.
Тогда полный объем большого конуса находим так. 10 это 1 часть из 27, а 26 частей отсекается, то есть объем большого конуса будет
10*(26+1)=270
Ответ: 270

Номер по ФИПИ: 31CA99 ⭐

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Даны два шара с радиусами 9 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

729

Решение

Объем шара находится по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
`V=3/4*π*r^3`
Тогда объемы шаров будут являться отношением кубов радиусов
`V_1/V_2=r_1^3/r_2^3=729/1=729`
Ответ: 729

Номер по ФИПИ: BE0C42

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

64

Решение

Площадь поверхности шара находится по формуле из справочных материалов ЕГЭ:
`S=4*π*r^2`
Тогда отношение сфер будет отношением квадратов радиусов
`S_1/S_2=r_1^2/r_2^2=64/1=64`
Ответ: 64

Номер по ФИПИ: 68DF40

: Обновлено: 13 мая 2024

13. Впишите правильный ответ.

Объём конуса равен 8. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

...

Решение

Объем конуса можно найти по формуле
`V=1/3*π*r^2*h` , где π*r² - площадь основания, а h - высота.
Отношение радиусов будет равно отношению высот большого конуса и маленького. Тогда можно записать объем для большого конуса
`V_1=1/3*π*r^2*h`
и для маленького с учетом, что его h является частью (1:1), то есть всего 2 части и 1/2 часть приходится на высоту маленького конуса.
`V_2=1/3*π*(1/2*r)^2*1/2*h`
а отсеченная часть будет разность между объемом большого и малого конуса
`V_(отсеч)=1/3*π*r^2*h - 1/3*π*(1/2*r)^2*1/2*h=1/3*π*r^2*h (1-1/4*1/2) = 1/3*π*r^2*h*7/8`
Тогда мы видим, что это 7/8 от нашего объема конуса (то есть получили формулу выше с коэффициентом 7/8) и высчитываем Vотсеч.
`8*7/8=7` это объем отсеченного. При этом
8-7=1 это объем отсеченного маленького конуса
Ответ: 1

Номер по ФИПИ: 5A6C02 ⭐

: Обновлено: 13 мая 2024