Вариант 020125 ОГЭ по математике из реальных заданий ФИПИ

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

Рис. 1

Рис. 2

Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число (число 195 в приведённом примере) обозначает ширину шины в миллиметрах
(параметр B на рисунке 2). Второе число (число 65 в приведённом примере) — процентное отношение высоты боковины (параметр H на рисунке 2) к ширине шины, то есть 100⋅H/B.

Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции.

За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки 185/60 R14.

Номер группы 3482E5

1. Впишите правильный ответ.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Ширина шины (мм)

Диаметр диска (дюймы)

14

15

16

185

185/60

185/55

—

195

195/55

195/55; 195/50

—

205

 

205/50

205/50

215

—

—

215/45

 

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

205

Решение

Ответ: 205

iНомер: 922A2F

2. Впишите правильный ответ.

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?

112,75

Решение

Ищем H. 
В = 205 ширина шины
55 = 100⋅H/B
Н = 55*B/100 = 55*205/100= 112,75
Ответ: 112,75

iНомер: EF8F74    

 

3. Впишите правильный ответ.

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15?

17,9

Решение

Найдем диаметр заводских колес (ЗК), как в предыдущем вопросе:
60=100*H/185 H=60*185/100=111 мм dдиска=14 дюймов=14*25,4=355,6 мм
Dзк=2H+d=2*111+355,6=577,6 мм
Теперь посчитаем диаметр для колеса с другой маркировкой: 55=100*H/195 H=55*195/100=107,25 мм dдиска=15 дюймов=15*25,4=381 мм
Dдм=2H+d=2*107,25+381=595,5 мм
Диаметр увеличится на 595,5-577,6=17,9 мм.
Ответ: 17,9

iНомер: FCA745

4. Впишите правильный ответ.

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

577,6

Решение

Dзк=577,6 мм
Ответ: 577,6

iНомер: 1394A1

5. Впишите правильный ответ.

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/50 R16? Результат округлите до десятых.

5,9

Решение

Чтобы узнать пробег автомобиля за один оборот колеса надо, все лишь, найти длину окружности этого колеса.
Радиус заводского колеса вычислим из диаметра в предыдущих вопросах: Rзк=577,6/2=288,8 мм Cзк=2πRзк=2*3,14*288,8≈1813,664 мм
Найдем радиус колеса с шинами маркировки 205/50
R16: 50=100*H/205 H=50*205/100=102,5 мм dдиска=16 дюймов=16*25,4=406,4 мм
D=2H+d=2*102,5+406,4=611,4 мм R=D/2=611,4/2=305,7 мм C=2πR=2*3,14*305,7≈1919,796 мм
Далее составим пропорцию: Пробег 1813,664 мм - это 100% Пробег 1919,796 мм - это x% x=1919,796*100/1813,664≈105,9% 105,9-100=5,9%
Т.е. пробег увеличится на 5,9%.
Ответ: 5,9

iНомер: E32B27

6. Впишите правильный ответ.

Найдите значение выражения `12/5:15/2`.

0,32

Решение

`12/5:15/2=12/5*2/15=24/75=0,32`

iНомер: 418E22

7. Впишите правильный ответ.

На координатной прямой отмечены числа a и b.

1) ab2 <0
2) b−a<0
3) ab>0
4) a+b>0

1

Решение

Анализируем: b положительное, а отрицательное, по модулю а больше, чем b.
ab2 <0 верно
Ответ: 1

iНомер: 6F944F    

8. Впишите правильный ответ.

Найдите значение выражения  `sqrt(4^3)`.

8

Решение

`sqrt(4^3)=sqrt((2^2)^3)=2^3=8`

iНомер: 06A483

9. Впишите правильный ответ.

Найдите корень уравнения `4(x-8)=- 5`.

6,75

Решение

`4(x-8)=- 5`
`4x - 32 = -5`
`4x = 32-5`
`4x = 27`
`x = 6  3/4`
Ответ: `6,75`

iНомер: 33EA1C  Прототип 6

10. Впишите правильный ответ.

В магазине канцтоваров продаётся 112 ручек: 17 красных, 44 зелёных, 29 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной.

0,25

Решение

`(112-(17+44+29))/2=11` черных ручек
`17+11=28` красных и черных
`28/112=0,25`
Ответ: 0,25

iНомер: ABB466 

11. Впишите правильный ответ.

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ
А) `y=1/3x + 2`
Б) `y=− 4x^2 +20x−22`
В) `y=1/x`

ГРАФИКИ

1)2)3)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

213

Решение

Вспоминаем, что линейная функция - прямая на графике, квадратичная - парабола, х в знаменателе - гипербола.
Ответ: 213

iНомер: F2AF4A

12. Впишите правильный ответ.

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле `C=6000+4100n`, где `n` — число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 20 колец. Ответ дайте в рублях.

88000

Решение

`C=6000+4100n=6000+4100*20=88000` р.
Ответ: `88000`

iНомер: 0A4D44

13. Впишите правильный ответ.

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1) `x^2 +16≥0`
2) `x^2 −16≤0`
3) `x^2 +16≤0`
4) `x^2 −16≥0`

2

Решение

1) x2 +16≥0
x2 ≥-16
квадрат любого числа всегда больше или равно 0, значит подходит любое значение x
 
2) x2 −16≤0
 x2 ≤16
      |x|≤4
x≤4      -x≤4
             x≥-4

Подходит, остальные можно не смотреть.
 
3) x2 +16≤0
x2 ≤-16
квадрат числа не может быть отрицательным, нет решения
 
4) x2 −16≥0
x2 ≥16
      |x|≥4
x≥4      -x≥4
             x≤-4

         -4                4
Ответ: 2

iНомер: 0831D6

14. Впишите правильный ответ.

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?

4

Решение

Изменение высоты отскока мячика представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b1=3,6 м=360 см и знаменателем q=1/3. По формуле n-ого члена bn=b1*qn-1 найдем, после какого по счету отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.

bn < 15 ⇔ b1qn-1 < 15 ⇔ 360 * (1/3)n-1 < 15 ⇔ (1/3)n-1 < 1/24

Следовательно, n=4 — минимальное целое значение, которое удовлетворяет неравенство, или счет отскока, после которого высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.
Ответ: 4

Решение на пальцах.

С каждым отскоком высота мяча снижается. Здесь прошу обратить ваше внимание, что после первого отскока высота мяча 360 см. Получим:
после первого отскока - 360
после второго 360 : 3 = 120
после третьего 120 : 3 = 40 
после четвертого 40 : 3 = 13   < 15
Ответ: 4

iНомер: 4C0E02

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=5/6, AB=18. Найдите BC.

15

Решение

По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=18*5/6=15
Ответ: 15

iНомер: 481278

16. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 150°, AB=26. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

26

Решение

Обобщенная теорема синусов гласит, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. При этом для треугольника АВС с радиусом описанного круга R верно соотношение:
`(AB)/sin(∠C)=2R`
`R=(AB)/(2sin∠C)`

`sin150°=sin30°=1/2`
Подставляем в формулу значение:
`R=26/(2*1/2)=(26*2)/2=26`
Ответ: 26

iНомер: 6C273B  

17. Впишите правильный ответ.

Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите бо́льшую высоту.

8

Решение

Площадь  параллелограмма
S=ah, где а - сторона параллелограмма, а h - высота, опущенная к этой стороне.
`h=S/a`
Тогда первая высота:
`h_1=40/5=8`;
вторая высота:
`h_2=40/10=4`.
h1 больше, ее и записываем в ответ.
Ответ: 8

И небольшой лайфхак, позволяющий сэкономить время. Если нужно узнать бо́льшую высоту, то делим только на меньшую сторону; если меньшую высоту - делим на большую сторону, а вторую считать не имеет практического смысла.

iНомер: 925604 ⭐

18. Впишите правильный ответ.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

6

Решение

Катет - сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.
Ответ: 6

iНомер: F7FF65

19. Впишите правильный ответ.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

23

Решение

1) неверно. Верным будет утверждение: «Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны».
2) верно, по теореме о средней линии трапеции она параллельна основаниям и равна их полусумме.
3) верно по свойству любого треугольника.

iНомер: F688BF

20. Дайте развернутый ответ.

Решите систему уравнений

`{(x^2 +y=5),(6x^2 −y=2):}`

Впишите решения системы в формате (-☐;☐);(☐;☐)

(-1;4);(1;4)

Решение

Исключаем одну из переменных путем сложения уравнений.
`7x^2=7`
`x^2=1`
`x=±1`
`(-1)^2+y=5`
`1^2+y=5`
`y=4`
`y=4`
Ответ: (-1;4);(1;4)

iНомер: 7CB2F7

21. Дайте развернутый ответ.

Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?

Впишите результат без единиц измерения

10

Решение

Пусть первая труба пропускает x литров в минуту, тогда вторая труба пропускает x + 3 литров в минуту. Составим уравнение:
`260/x-260/(x+3)=6`
`(260x+780-260x)/(x(x+3))=6`
`780=6x^2+18x`
`6x^2+18x-780=0`
`x^2+3x-130=0`
`x_1=(-3+sqrt(3^2+4*130))/2=(-3+23)/2=10`
`x_2=(-3-23)/2=-13`
Берем положительный корень. Первая труба пропускает в минуту 10 литров воды.
Ответ: 10

iНомер: D7D54B

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=\left\{\begin{array}{lc}x^2+4x+4&\mathrm{при} x\geq-3,\\-\frac3x&\mathrm{при} x<-3.\end{array}\right.$

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Впишите минимальное m

0

Решение

Построим график функции y = x2 + 4x + 4 при x ≥ −3. Это часть параболы с вершиной (-2; 0) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (-3; 1).
Построим график функции `y=-3/x` при x < −3. Это часть гиперболы, расположена во II четверти и ограничена точкой (-3; 1).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком одну общую точку, когда m > 1 или m = 0, и две общие точки при m = 1.
Ответ: m = 0; m > 1; m = 1

Для проверки впишите 0

iНомер: 64F750

23. Дайте развернутый ответ.

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.

Впишите BC

14

Решение


По обобщенной теореме синусов
`(BC)/sinA=(AC)/sinB=(AB)/sinC=2R`
В нашем случае известны два угла и неизвестен как раз угол напротив катета, который и предстоит узнать. Угол можно вычислить из условия того, что в треугольнике сумма всех углов равна 180 градусов.
`∠A=180°-(65°+85°)=30°`

`2R=(BC)/sinA`
`BC=2R*sinA`
`BC=2*R*sin30°`
`sin30°=1/2`
Подставляем значения и находим BC
`BC=2*14*sin30°=2*14*1/2=14`
Ответ: 14

iНомер: AE3B14

24. Дайте развернутый ответ.

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что AK — биссектриса угла BAD.

Впишите слово ответ, чтобы посмотреть доказательство

ответ

Решение


Проведём KO параллельно AB.
Тогда AB = BK = KC.
Следовательно, параллелограмм ABKO является ромбом. Диагональ AK ромба ABKO является биссектрисой угла BAO. Что и требовалось доказать.

iНомер: 079233

25. Дайте развернутый ответ.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Впишите расстояние

1,8

Решение


Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD. 
`AB + CD = AB + AB = P/2`
`AB=P/4=120/4=30`
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
`S=(BC+AD)/2*BF`
`540=60/2*BF`
`BF=540/30`
`BF=18`
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
`AB^2=BF^2+AF^2`
`30^2=18^2+AF^2`
`AF^2=30^2-18^2`
`AF=sqrt(30^2-18^2)`
`AF=sqrt(900-324)`
`AF=sqrt576`
`AF=24`
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
`60=2BC+2AF`
`60=2BC+2*24`
`2BC=60-48`
`BC=12/2`
`BC=6`
Тогда `AD=2*24+6=54`
Рассмотрим треугольники BCO и AOD. 
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
`(BC)/(AD)=6/54=1/9`, значит
`(OE)/(OH)=1/9`
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 10 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 9 частей - OH.
ОЕ = 18 : 10 = 1,8
Ответ: 1,8

iНомер: 22C756