Тренажер на задание 25 ОГЭ по математике: геометрия повышенной сложности

Мы знаем, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований и расположена посредине боковых сторон. Это позволяет нам сделать вывод, что смещение относительно центра прямо пропорционально изменению размера. 
Так, если мы за всю высоту возьмем 7 частей, которые учитываются в пропорции 4:3, то условно средняя линия будет смещена в сторону какого-либо значения, насколько отличается от среднего значения принятых нами частей.  А у нас получается, что из 7 частей, среднее это 7/2=3,5 части, то есть на 0,5 части у нас смещение относительно оснований. Но так как наша целая часть - это 1/7, то пол части будет 1/7*1/2=1/14 , именно на столько надо прибавить (из-за того что смещена вниз) значение к средней линии, чтобы получить значение EF, тогда

`EF= (BC+AD)/2+(AD-BC)*1/14=56/2+28*1/14=28+2=30`

...заметьте, что поправку делаем для разности между номиналами оснований AD-BC, ведь именно в этом диапазоне изменяется наша условно средняя линия на высчитанный показатель частей (от меньшего размера меньшего основания, до большего размера большего расстояния)
Ответ: 30

Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке.
Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H.
Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q.
Получаем, что MD=QD=42.
По теореме о секущих получаем, что
AM * AQ=AK * AC = (49-42) * (49+42) = 637.
Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:
`(AK)/(KD)=(AH)/(KC)`
`AH=(AK*KC)/(KD)`
`AH=637/49`
`AH=13`
Ответ: 13

Проведём построения, как показано на рисунке.

Расстояние от точки E до прямой CD  — отрезок EF.
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке M, проведём отрезок CK, параллельный AB.
Рассмотрим четырёхугольник ABCK прямая BC  параллельна AK, прямая AB параллельна прямой CK, угол BAK  — прямой, следовательно, ABCK  — прямоугольник. Откуда AB=KC. Значит,
`KD=AD-BC=14-12=2`.
Из прямоугольного треугольника:
`cos∠CDK=(KD)/(CD)=2/(CD)`
Рассмотрим треугольники MCB и CKD, они прямоугольные, углы DMA и DCK равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны:
`(BC)/(KD)=(MC)/(CD)`, откуда
`MC=(CD*BC)/(KD)=CD*12/2=6CD`
По теореме о касательной и секущей:
`ME^2=MD*MC=(MC+CD)*MC=(6CD+CD)* 6CD=42CD^2`
Откуда `ME=CDsqrt42`.
Рассмотрим треугольники MEF и MAD, они прямоугольные, угол BMC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Значит, углы MEF и ADM равны, а значит, 
cos∠MEF= cos∠ADM.
Найдём EF из прямоугольного треугольника MEF:
`EF=ME*cos∠MEF=ME*cos∠ADM=(2ME)/(CD)=(2CDsqrt42)/(CD)=2sqrt42`
Ответ: 2√42

Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD. 
`AB + CD = AB + AB = P/2`
`AB=P/4=120/4=30`
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
`S=(BC+AD)/2*BF`
`540=60/2*BF`
`BF=540/30`
`BF=18`
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
`AB^2=BF^2+AF^2`
`30^2=18^2+AF^2`
`AF^2=30^2-18^2`
`AF=sqrt(30^2-18^2)`
`AF=sqrt(900-324)`
`AF=sqrt576`
`AF=24`
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
`60=2BC+2AF`
`60=2BC+2*24`
`2BC=60-48`
`BC=12/2`
`BC=6`
Тогда `AD=2*24+6=54`
Рассмотрим треугольники BCO и AOD. 
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
`(BC)/(AD)=6/54=1/9`, значит
`(OE)/(OH)=1/9`
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 10 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 9 частей - OH.
ОЕ = 18 : 10 = 1,8
Ответ: 1,8

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они равны, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=7.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам).
Значит MK=KH=7. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH.
Теперь, зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
`S=AD*MN=AD*(MK + KN) =19*(7+7)=19*14=266`.
Ответ: 266

Обозначим BH высоту, проведённую из вершины  B. Биссектриса, проведённая из угла A, делит высоту в отношении, равному отношению сторон треугольника AB и AH. Значит, 
`cos∠BAC=(AB)/(AH)=15/17`
Так как треугольник прямоугольный, то соотношение третей стороны можно вычислить по теореме Пифагора
`х=sqrt(17^2-15^2)=sqrt(289-225)=sqrt64=8` тогда, исходя из того, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе получаем:
`sin∠BAC=8/17`
Зная отношение сторон, выраженное в синусе, и принимая во внимание известную сторону, применим обобщенную теорему синусов, из которой:
`2R=(BC)/(2sin∠BAC)*R=(16*17)/(2*8)=272/16=17`
Ответ: 17

Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому
`AP=PD=12/2=6`
`BC=2BD=2AB`, так как AD — медиана.
По свойству биссектрисы треугольника.
`(CE)/(AE)=(BC)/(AB)`,
так как BC больше AB в 2 раза, то
`(CE)/(AE)=2`, а AC=3AE
Проведём через вершину B прямую, параллельную AC.
Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда
`BK=AC=3AE`.
Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:
`(PE)/(BP)=(AE)/(BK)=1/3`
то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE
`PE=12/4*1=3` и `BP=12/4*3=9`
Теперь, зная BP и AP, можем найти AB
`AB=sqrt(BP^2+AP^2)=sqrt(9^2+6^2)=sqrt(81+36)=sqrt117=3sqrt13`
BC из условия, что оно в два раза больше BA, будет
`BC=2sqrt117=2*3sqrt13=6sqrt13`
Зная PE и AP, можем найти AE
`AE=sqrt(PE^2+AP^2)=sqrt(3^2+6^2)=sqrt(9+36)=sqrt45`
Тогда AC из условия, что оно в 3 раза больше AE, будет
`AC=3sqrt45=3*3sqrt5=9sqrt5`
Ответ: AB=3√13, BC=6√13, AC=9√5

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов (100+25=125). Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус O₁C второй окружности. Тогда
`O_1P = O_1C - PC = O_1C - OA = 100 - 25 = 75`.
Из прямоугольного треугольника OPO₁ находим, что
`OP=sqrt(OO_1^2−O_1P^2)=sqrt((100+25)^2−75^2)=sqrt(15625−5625)=100`
Опустим перпендикуляр BQ из точки B на прямую CD. Прямоугольный треугольник BQD подобен прямоугольному треугольнику OPO₁ по двум углам, поэтому:
`(BQ)/(BD)=(OP)/(OO_1)`
Следовательно,
`BQ=(OP∗BD)/(OO_1)=(100∗100)/(125)=10000/125=80`
Ответ: 80

Проведём через точку D прямую, параллельную диагонали AC. Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды: AL = CD = 10.
Вертикальные углы AKB и CKD равны.
Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие:
∠CKD =∠LDK = 60º.
Четырёхугольник ABDL вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°:
∠LAB = 180º -∠LDK = 180º - 60º = 120º.
Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов
`BL=sqrt(AL^2+AB^2−2ALcos120)=sqrt(100+1600−2∗10∗40cos120)=sqrt2100`
Далее по теореме синусов найдем радиус, выразив его через сторону и синус угла напротив нее
`R=(BL)/(2sin∠BAL)=(sqrt2100*2)/(2*sqrt3)=sqrt700=10sqrt7`
Ответ: 10√7

Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке O В треугольнике AOD сумма углов OAD и ODA равна 90°, следовательно, величина
∠AOD=180-(∠OAD-∠ODA)=90º
Значит, треугольник AOD  — прямоугольный.
Рассмотрим треугольник AOD. Проведем медиану ON. Данная медиана будет делить любой из отрезков пополам, который параллельный отрезку AD и находящийся между сторонами АO и OD. Все дело в том, что любой из треугольников с той же вершиной O, что и треугольник AOD и с основанием, находящимся  между сторонам АO и OD при этом параллельным AD будет подобен самому треугольнику AOD (по двум углам, 1-й признак подобия треугольников). Из свойства о медиане в прямоугольном треугольнике мы знаем, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
`OM=(BC)/2`
а для MN будет справедливо следующее утверждение:
`(BC)/2+MN=(AD)/2`
`MN=(AD)/2−(BC)/2`
`MN=(AD−BC)/2`
При этом есть и KL, она является средней линией трапеции, которая обладает следующим свойством. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Значит:
`KL=(AD+BC)/2`
При этом из условия задачи мы знаем, что соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14. То есть разница между KL и МН - это разница между этими значениями, при этом KL=16 больше МН=14, исходя их равенств выше, то есть
`KL-MH=16-14=2`
Выражая тоже самое, исходя из равенств выше, получаем
`(AD+BC)/2−(AD−BC)/2=2`
`(AD+BC−(AD−BC))/2=2`
`(AD+BC−AD+BC)/2=2`
`(2BC)/2=2`
`BC=2`
Теперь подставляем значение BC=2 в выше полученное равенство, при условии KL=16:
`KL=(AD+BC)/2`
`16=(AD+2)/2`
`AD+2=32`
`AD=32−2`
`AD=30`
Ответ: 2, 30

Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK будут равны как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CDK  — равнобедренный:
KC = CD = 41.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 41 - 16 = 25.
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда 
AD = KB = 25
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD = AD - BC = 25 - 16 = 9
По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP=AB=40
Теперь надо догадаться, что △CPD прямоугольный. Если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD²=PD²+CP²
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP²=CD²-PD²
CP²=41²-9²
CP=√(1681-81)=√ 1600=40 . Точно, прямоугольный.
Но записываем так:
По теореме, ОБРАТНОЙ теореме Пифагора, если PD²+CP²=CD² , то треугольник прямоугольный.
(Кто не в курсе, обратная теорема Пифагора:
Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.
Если a² + b² = c², то треугольник ABC — прямоугольный.)
PD² + CP² = 9² + 40² = 1681
CD² = 41² = 1681,
1681 = 1681, следовательно PD²+CP²=CD²  и треугольник CPD прямоугольный.
Значит, CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 25, 16 и высота 40. Можем найти площадь трапеции:
`S_(BCAD)=(BC+AD)/2*CP=(25+16)/2*40=41/2*40=20,5*20=820`
Ответ: 820

Найдем AE по теореме о касательной и секущей. Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE² = АN·АM
АE² = 4*15
АE = $\sqrt{4\ast15}$= $\sqrt{60}$
Рассмотрим △АЕМ. По теореме косинусов найдем EM:
EM² = AE²+AM² - 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $\sqrt{60}$² +4² - 2*$\sqrt{60}$*4*$\frac{\sqrt{15}}4$= 60+16-2*$\sqrt{60}$*$\sqrt{15}$=76-2*30=16
EM = $\sqrt{16}$ =4
Рассмотрим △АЕN. По теореме косинусов найдем EN:
EN² = AE²+AN² - 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $\sqrt{60}$² +15² - 2*$\sqrt{60}$*15*$\frac{\sqrt{15}}4$=60+225-($\sqrt{900}$*15)/2=285-225=60
EN = $\sqrt{60}$
В △AEN стороны AE и EN равны, значит △AEN равнобедренный, где где AE = EN = $\sqrt{60}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит ∠BAC = ∠ENA.
Из основного тригонометрического тождества найдем sin∠ENA.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2=1\\\sin\angle ENA^2+{(\frac{\sqrt{15}}4)}^2=1\\\sin\angle ENA^2=1-{(\frac{\sqrt{15}}4)}^2\;\;\\\sin\angle ENA^2=1-\frac{15}{16}\\\sin\angle ENA^2=\frac1{16}\\\sin\angle ENA=\frac14$
По теореме синусов найдем радиус описанной вокруг треугольника окружности:
$R=\frac{EM}{2\ast\sin\angle ENA}=\frac4{2\ast{\displaystyle\frac14}}=8$
Ответ: 8

Проведём построения, как показано на рисунке. Угол ABE  — вписанный и опирается на диаметр, значит, угол ABE  — прямой. Рассмотрим треугольники AEB и ABF, они прямоугольные, угол BAE  — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:
`(AE)/(AB)=(AB)/(AF)`
`AB^2=AE*AF`
Угол ECA  — вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники AEC и AFD, они прямоугольные, угол FAD  — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда
`(AE)/(AD)=(AC)/(AF)`
`AD=(AE*AF)/(AC)`
Подставляя выше найденное равенство:
`AD=(AB^2)/(AC)=(84^2)/98=72`
`CD=AC-AD=98-72=26`
Ответ: 26

Продолжим стороны AB и CD до их пересечения в точке E. Угол AEC равен 90°, поскольку сумма углов EAD и EDA равна 90°. Рассмотрим треугольники AED и BEC, они прямоугольные, углы ECB и EDA равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
`(AE)/(BE)=(AB+BE)/(BE)=(AD)/(BC)`
отсюда выразим BE
`(AB+BE)/(BE)=(AD)/(BC)`
`BC*(AB+BE)=AD*BE`
`BC*AB+BC*BE=AD*BE`
`AD*BE-BC*BE=BC*AB`
`BE*(AD-BC)=BC*AB`
`BE=(BC*AB)/(AD-BC)`
Подставляем значение находим BE
`BE=(BC*AB)/(AD-BC)=(6*10)/(18-6)=60/12=5`
Пусть окружность касается прямой CD в точке F, причём точка F может лежать или на стороне CD или на её продолжении. Отрезок OF перпендикулярен прямой CD, как радиус проведённый в точку касания, OA,OB и OF  — радиусы.
Треугольник AOB  — равнобедренный, OH  — высота, следовательно, OH является медианой и биссектрисой. Четырехугольник OHEF  — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:
`R=OF=HE=HB+BE=(AB)/2+BE=5+5=10`
Ответ: 10

Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
`AK=sqrt(AO^2+ОК^2)=sqrt(25-9)=4`
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда
AL=AK= 4.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
`S_(abc)=(AB+BC+CA)/2*OK=(AL+LB+BM+MC+CK+KA)/2*OK=(4+4+2BM+2MC)/2*3=3*(4+BM+MC)`
из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
`S_(abcd)=MH*BC=(MO+OH)*(BM+MC)=(3+4)*(BM+MC)=7*(BM+MC)`
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
`(7*(BM+MC))/2=3*(4+BM+MC)`
`7*(BM+MC)=6*(4+BM+MC)`
`7*(BM+MC)=24+6*(BM+MC)`
`7*(BM+MC)-6*(BM+MC)=24`
`BM+MC=24`
То есть основание BC = 24.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
`S_(abcd)=MH*BC=(3+4)*24=168`
Ответ: 168

Поскольку существует точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника, четырёхугольник можно вписать в окружность. Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противоположных углов равны 180°:
∠BAD + ∠BCD =180° 
∠BAD = 180° - ∠BCD
∠BAD = 180° - 95° = 85°
Отрезки AM,BM и CM равны как радиусы окружности, поэтому треугольники ABM и BMC — равнобедренные, откуда
∠BAD = ∠ABM = 85° и
∠ВCМ = ∠MBC = ∠ABC - ∠ABM = 115° - 85° = 30°
Рассмотрим треугольник BMC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда
∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠ BCM = 180° - 30° - 30° = 120°
По теореме синусов найдём сторону BM из треугольника BMC:
`(BC)/(sinBMC)=(BM)/(sinBCM)`
`BM = ВС * (sinBCM)/(sinBMC)`
`BM=(12*sin30°)/(sin120°)=(12*1/2)/(sqrt3/2)=4sqrt3`
Сторона AD — диаметр описанной окружности, поэтому
`AD=2BM=2*4sqrt3=8sqrt3`
Ответ: 8√3

2 способ

Точка М равноудалена от вершин. Поскольку существует точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника, четырёхугольник можно вписать в окружность.
AD - диаметр.
дуга АС = 2 ∠В = 2 ∙ 115° = 230°
дуга ВЕ = 2 ∠С = 2 ∙ 95° = 190°
Сумма всех дуг окружности 360°
ВС + АС + BE – 180° = 360°
BC + 230° + 190° - 180° = 360°
BC + 240° = 360°
BC = 120°
∠BMC опирается на дугу ВС, ∠BMC = ВС = 120°
∆BMC равнобедренный треугольник, ВС = 12, ∠BMC = 120°
по т. косинусов
BC² = a² + a² – 2 ∙ a ∙ a ∙ cos 120°
BC² = a² + a² – 2 ∙ a ∙ a ∙ ( – 1/2)
BC² = a² + a² + a²
BC² = 3a²
a² = BC²/3
a² = 12²/3
a² = 144/3
а² = 48
а = 4√3 
АЕ = 2а = 2 ∙ 4√3  = 8√3 
Ответ: 8√3