Вариант 020125 ОГЭ по математике из реальных заданий ФИПИ

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8–12	40	18 000
2	дровяная	10–16	48	19 500
3	электрическая	9–15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

Номер группы 8889B9

1. Впишите правильный ответ.

Установите соответствие между массами и номерами печей.

Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

312

Решение

Ответ: 312

Номер: 30DDBA

2. Впишите правильный ответ.

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

15,4

Решение

Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м.
Объем парного отделения может быть вычислен по формуле: V=a * b * c, где a — ширина, b — длина, с — высота. Имеем: V=3,5 * 2,2 * 2 = 15,4м³.
Ответ: 15,4

Номер: CD3CFF

или

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

7,7

Решение

S=3,5*2,2=7,7м²
Ответ: 7,7

Номер: 2789BB

3. Впишите правильный ответ.

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

2000

Решение

Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м.
Объем парного отделения может быть вычислен по формуле: V=a * b * c, где a — ширина, b — длина, с — высота. Имеем: V=3,5 * 2,2 * 2 = 15,4м³.
То есть надо брать печку за 19 500. А электрическая обойдется 15000 печка + потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб. 21 500 руб.
21 500 - 19 500=2 000
Ответ: 2000

Номер: 888F31

4. Впишите правильный ответ.

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

16200

Решение

18000-(18000*10)/100= 18000-1800=16 200
Ответ: 16200

Номер: 8A06F1

5. Впишите правильный ответ.

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2.

Рис. 1

Рис. 2
Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2).
Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

50

Решение

Проведем радиус как показано на рисунке, но проведем его из центра нижней стороны в угол радиуса и боковой стороны. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза будет нашим радиусом. По теореме Пифагора найдем радиус:
√ (40²+30²)=√ (1600+900)=√ 2500=50
Ответ: 50

Номер: 59DCD0

: Обновлено: 04 февраля 2025

6. Впишите правильный ответ.

Найдите значение выражения 5,7−7,6.

-1,9

Решение

5,7−7,6=-(7,6-5,7)=-1,9

Номер: 0F5B83

: Обновлено: 02 января 2025

7. Впишите правильный ответ.

Между какими целыми числами заключено число `110/13`?

1) 8 и 9
2) 9 и 10
3) 10 и 11
4) 11 и 12

1

Решение

Сравним дробь с числами из списка.
`8=104/13`
`9=117/13`
104<110<117
или делим так:
`110/13=8,46....`
Значит, `110/13` заключено между 8 и 9. Ответ 1.

Номер: F2CF43

: Обновлено: 02 января 2025

8. Впишите правильный ответ.

Найдите значение выражения `sqrt(a^8*(−a)^4)` при a=2.

64

Решение

`sqrt(a^8*(−a)^4)=sqrt((a^4)^2*(−a^2)^2)=|a^4*a^2|`
(минус уходит, потому что (-а) возводится в квадрат, а еще число, извлеченное из квадратного корня, не может быть отрицательным)
`|2^4*2^2|=2^6=64`

Номер: 508746

: Обновлено: 02 января 2025

9. Впишите правильный ответ.

Найдите корень уравнения `8+7x=9x+4`.

2

Решение

`8+7x=9x+4`
`7x - 9x = 4-8`
`-2x = -4`
`x = 4/2`
`x = 2`
Ответ: `2`

Номер: 1BF2E1 Прототип 5

: Обновлено: 02 января 2025

10. Впишите правильный ответ.

Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 8 с машинами и 12 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Вася. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машиной.

0,4

Решение

`8/20=0,4`
Ответ: `0,4`

Номер: 531087

: Обновлено: 02 января 2025

11. Впишите правильный ответ.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ
А)Б)В)

ФОРМУЛЫ
1) `y=− x^2 −4`
2) `y=− 2x−4`
3) `y=sqrtx`

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

132

Решение

линейная функция - прямая на графике, квадратичная - парабола, √x - положительная половина параболы
Ответ: 132

Номер: 1B27B2

: Обновлено: 02 января 2025

12. Впишите правильный ответ.

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула `t_C=5/9(t_F−32)`, где t_C — температура в градусах Цельсия, t_F — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 149 градусов по шкале Фаренгейта?

65

Решение

`t_C=5/9*(149-32)=65`
Ответ: 65

Номер: 842158

: Обновлено: 02 января 2025

13. Впишите правильный ответ.

Укажите решение системы неравенств

`{(− 12+3x>0),(9−4x>− 3):}`

1

Решение

− 12+3x>0
3x>12
x>4

9−4x>− 3
−4x>-12
x<3
Области не пересекаются, значит решений нет.

Ответ: 1

Номер: 19EB75

: Обновлено: 02 января 2025

14. Впишите правильный ответ.

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 7° C .

-31

Решение

Заметим, что значения температуры вещества представляют собой арифметическую прогрессию с разностью −6. При этом температура вещества в начальный момент времени будет первым членом прогрессии, температура вещества через одну минуту — вторым членом, а температура вещества через 4 минуты — пятым членом прогрессии, следовательно, она может быть найдена по формуле

a_n=a₁ + d (n - 1)
a₅=a₁ + d (5 - 1) = -7 + (-6) * 4= -31.
Ответ: -31

Другой вариант решения.

Через минуту температура вещества станет - 7 - 6 = -12 , через две минуты — - 7 - 12 =-19 , ..., через 4 минуты температура вещества станет - 7 - 24 = -31 ^оC.
Ответ: -31

Номер: AC63F5

: Обновлено: 02 января 2025

15. Впишите правильный ответ.

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.

29

Решение

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
гипотенуза² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841
гипотенуза = √841 = 29
Ответ: 29

Номер: 9B2289

: Обновлено: 02 января 2025

16. Впишите правильный ответ.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

12

Решение

Формула есть в справочных материалах к ОГЭ

`r=(asqrt3)/6`
`a=(r*6)/sqrt3=(2sqrt3*6)/sqrt3=12`

Если желаете копнуть глубже, пожалуйста:

Проведем еще две прямые (биссектрисы, медианы, высоты) в равностороннем треугольнике. Получим 6 прямоугольных равных треугольников, в который один угол равен 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы. Используя теорему Пифагора можем вычислить второй катет этого треугольника и умножить на два, тем самым получив сторону треугольника.

$4\left(2\sqrt3\right)^2=\left(2\sqrt3\right)^2+x^2\\x^2=\;3\left(2\sqrt3\right)^2\\х^2=3\ast4\ast3\\х=\sqrt{36}\\х=6$
6*2=12
Ответ: 12

Лайфхак:

Чтобы найти длину стороны вписанного в окружность равностороннего треугольника, нужно число, стоящее перед корнем в условии, умножить на 6.
У нас в условии 2√3.
2*6=12

Номер: D07B18

: Обновлено: 02 января 2025

17. Впишите правильный ответ.

Один из углов ромба равен 104°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

76

Решение

Противолежащие углы ромба равны. Так как стороны ромба параллельны, любую из них можно рассматривать как секущую к двум другим параллельным друг другу сторонам, а значит сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°. Тогда меньший угол равен
180° - 104° = 76°.
Ответ: 76

Номер: D4E3E6

: Обновлено: 02 января 2025

18. Впишите правильный ответ.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

3

Решение

Из рисунка видно, что длина стороны AC равна 6.
Длина средней линии равна половине длины стороны AC, следовательно, 3.
Ответ: 3

Номер: 9C2804

: Обновлено: 02 января 2025

19. Впишите правильный ответ.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.

2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

3) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

12

Решение

1) верно, поскольку ромб — это параллелограмм, у которого всех стороны равны.
2) верно, такой прямоугольник — квадрат.
3) неверно, сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.

Номер: 266E13

: Обновлено: 02 января 2025

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `(x−1)(x^2 +6x+9)=5(x+3)`.

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

-4;-3;2

Решение

Преобразуем уравнение:
`(x−1)(x+3)^2=5(x + 3)`
`(x+3)((x−1)(x+3)−5)=0`
`(x+3)(x^2+2x−8)=0`
`(x+3)(x^2+4x-2x−8)=0`
`(x+3)(x(x+4)-2(x+4))=0`
`(x+3)(x+4)(x-2)=0`
`x+3=0`
`x+4=0`
`x-2=0`
`x =−3`, `x=−4` или `x=2`.
Ответ: -4;-3;2

Номер: 9947F1

: Обновлено: 02 января 2025

21. Дайте развернутый ответ.

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Впишите результат в км/ч без единиц измерения

52,8

Решение

Средняя скорость - это отношение всего пройденного пути ко всему затраченному на путь времени:
`v_(ср.)=S_(общ.)/t_(общ.)`, где `t=t_1+t_2`, `t_1` - время, затраченное на первую половину пути, `t_2` - на вторую.
Пусть весь путь 2S км, тогда `t_1=S/v_1`, `t_2=S/v_2`
Подставляем это в формулу средней скорости:
`v_(ср.)=(2S)/(t_1+t_2)=(2S)/(S/v_1+S/v_2)=(2S)/(S(1/v_1+1/v_2))=(2)/(1/v_1+1/v_2)=(2v_1v_2)/(v_1+v_2)`
`v_(ср.)=(2*36*99)/(36+99)=7128/135=52,8`
Значит, средняя скорость равна 52,8 км/ч
Ответ: 52,8км/ч

Номер: 3149F7

: Обновлено: 02 января 2025

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

`y=((x^2+0,25)(x+1))/(-1-x)`

Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Впишите наибольший k

1,25

Решение

Преобразуем выражение:
`y=((x^2+0,25)(x+1))/(-1-x)=(-(x^2+0,25)(x+1))/(1+x)=-x^2-0,25` при условии, что x ≠ −1.
Построим параболу `y=−x^2−0,25` с «выколотой» точкой (−1; −1,25). Ветви параболы направлены вниз, вершина — в точке (0; − 0,25).

Прямая y = kx имеет с параболой ровно одну общую точку, если она проходит через точку (−1; −1,25), то есть `−1,25=k*(-1)` или касается параболы, т.е. уравнение `−x^2−0,25=kx` должно иметь один корень.
Из `−1,25=k*(-1)` следует, что `k=1,25`
Дискриминант уравнения `x^2+kx+0,25=0` равен `k^2−1`, и он равен нулю при k = −1 или k =1.
Получаем, что при k = 1,25, k = −1 или k =1 прямая y = kx имеет с графиком функции `y=((x^2+0,25)(x+1))/(-1-x)` ровно одну общую точку.
Ответ: k=1,25 ; k=−1; k=1

Для проверки введите 1,25

Номер: E4E1A2

: Обновлено: 02 января 2025

23. Дайте развернутый ответ.

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=9, AC=12.

Впишите диаметр

5,25

Решение

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем
`AB^2=AC*AD`, при этом неизвестное здесь AD, которое и выражаем.
`AD=(AB^2)/(AC)=9^2/12=81/12=6,75`
Теперь остается из AC вычесть AD и найдем диаметр.
`12-6,75=5,25`
Ответ: 5,25

Решение статграда:
Пусть окружность второй раз пересекает отрезок AC в точке D , т.е. CD — диаметр. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:
AB² = AC ⋅ AD;
AB² = AC (AC − CD) ;
81 = 12 (12 −CD),
81 = 144 −12CD
CD=63/12
откуда CD = 5,25 . Получили, что диаметр окружности равен 5,25.
Ответ: 5,25

Номер: EFA5CC

: Обновлено: 02 января 2025

24. Дайте развернутый ответ.

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Впишите слово ответ, чтобы посмотреть доказательство

ответ

Решение

Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. Заметим, что соотношения в треугольниках CBD и ADB:
`(BC)/(BD)=(BD)/(AD)`
`5/10=10/20` , BD - общая сторона, которая имеет прилежащий равный угол ∠CBD=∠BDA и отношение со смежной стороной 1:2 и в другом треугольнике 2:1.
Следовательно, эти треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.

Номер: A810F6

: Обновлено: 02 января 2025

25. Дайте развернутый ответ.

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 17:15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=16.

Впишите радиус

17

Решение

Обозначим BH высоту, проведённую из вершины B. Биссектриса, проведённая из угла A, делит высоту в отношении, равному отношению сторон треугольника AB и AH. Значит,
`cos∠BAC=(AB)/(AH)=15/17`
Так как треугольник прямоугольный, то соотношение третей стороны можно вычислить по теореме Пифагора
`х=sqrt(17^2-15^2)=sqrt(289-225)=sqrt64=8` тогда, исходя из того, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе получаем:
`sin∠BAC=8/17`
Зная отношение сторон, выраженное в синусе, и принимая во внимание известную сторону, применим обобщенную теорему синусов, из которой:
`2R=(BC)/(2sin∠BAC)*R=(16*17)/(2*8)=272/16=17`
Ответ: 17

Номер: C18F47

: Обновлено: 02 января 2025