Тренажер на задание 20 ОГЭ по математике: уравнения и неравенства

С двадцатого начинаются задания с развернутым ответом. На ОГЭ нужно будет воспользоваться бланком номер 2 и вписать в него полное решение уравнения/неравенства и ответ. Наш тренажер проверяет только конечный ответ. Вписывайте корни уравнения через ; без пробелов, по возрастанию (от меньшего числа к большему). Точку в конце ставить не нужно. Максимально за это задание можно получить 2 балла, если обоснованно получен верный ответ. 1 балл ставится, если решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно. Для вас ВСЕ ПРОТОТИПЫ задания линейки №20 ОГЭ по математике.

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `x^3 +4x^2 =9x+36`

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

-4;-3;3

Решение

`x^3 +4x^2 =9x+36`
`x^2(x+4)=9(x+4)`
`x^2(x+4)-9(x+4)=0`
`(x+4)(x^2-9)=0`
`(x+4)(x+3)(x-3)=0`
`x+4=0`
`x+3=0`
`x-3=0`
`x=-4`, `x=-3` или `x=3`
Ответ: -4;-3;3

iНомер: 4AF24D

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `x^3 +5x^2 −x−5=0`.

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

-5;-1;1

Решение

`x^3 +5x^2 −x−5=0`
`x^2(x +5) −(x+5)=0`
`(x +5) (x^2-1)=0`
`(x +5) (x+1)(x-1)=0`
`x +5=0`
`x+1=0`
`x-1=0`
`x=-5`, `x=-1` или `x=1`
Ответ: -5;-1;1

iНомер: C0EC49

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `x^4 =(x-2)^2`

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

-2;1

Решение

`x^4 =(x-2)^2`
`x^4 -(x-2)^2=0`
`(x^2-(x-2))(x^2+(x-2))=0` (разность квадратов, по формуле сокращенного умножения)
`(x^2−x+2)(x^2+x−2)=0`
Произведение тогда равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0
`x^2−x+2=0`
`D=b^2-4ac=(-1)^2-4*1*2=-7`,
`-7<0`, значит уравнение `x^2−x+2=0` не имеет корней.
`x^2+x−2=0`
`D=(1)^2-4*1*(-2)=9`,
`9>0`, ⇒ 2 корня.
`x=(-b±sqrtD)/(2a)`
`x=(-1±sqrt9)/(2*1)`
`x=-2` и `x=1`.
Ответ: -2;1

iНомер: 478148

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `x(x^2 +2x+1)=6(x+1)`.

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

-3;-1;2

Решение

`x(x^2 +2x+1)=6(x+1)`
`x^3 +2x^2+x=6x+6`
`x^3 +2x^2+x-6x-6=0`
`x^3 +x^2 +x^2+x-6x-6=0`
`x^2(x+1)+x(x+1)-6(x+1)=0`
`(x+1)(x^2+x-6)=0`
`(x+1)(x^2+3x-2x-6)=0`
`(x+1)(x(x+3)-2(x+3))=0`
`(x+1)(x+3)(x-2)=0`
`x+1=0`
`x+3=0`
`x-2=0`
`x=-1`, `x=-3` или `x=2`
Ответ: -3;-1;2

iНомер: 8FB942

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `x^2 −2x+sqrt(3−x)=sqrt(3−x)+8`.

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

-2

Решение

При `x≤3` исходное уравнение приводится к виду `x^2 −2x-8=0`
`D=b^2-4ac=(-2)^2-4*1*(-8)=36` ⇒ 2 корня
`x=(-b±sqrtD)/(2a)`
`x=(2±sqrt36)/(2*1)`
`x=4` или `x=-2`
Условию `x≤3` удовлетворяет только решение `x=-2`
Ответ: -2

Второй способ
При `x≤3` исходное уравнение приводится к виду `x^2 −2x-8=0`
`x^2 +2x-4x-8=0`
`x(x +2)-4(x+2)=0`
`(x +2)(x-4)=0`
`x +2=0`
`x-4=0`
`x=-2` или `x=4`
Условию `x≤3` удовлетворяет только решение `x=-2`

iНомер: 4BCAFD

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `(x−4)^4 −4(x−4)^2 −21=0`.

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

4-√7;4+√7

Решение

Пусть `t=(x−4)^2` , тогда уравнение принимает вид
`t^2−4t−21=0`
`t^2+3t-7t−21=0`
`t(t+3)-7(t+3)=0`
`(t+3)(t-7)=0`
`t+3=0`
`t-7=0`
`t=-3` или `t=7`.
Уравнение `(x−4)^2=-3` не имеет корней (квадрат не может быть числом отрицательным).
`(x−4)^2=7`
`x−4=±sqrt7`
`x=4-sqrt7` и `x=4+sqrt7`.
Ответ: 4-√7;4+√7

1 балл: все шаги решения правильные, решение доведено до конца, но
есть арифметическая ошибка, с ее учетом все шаги выполнены правильно;
ответ не записан или в ответе указаны значения вспомогательной переменной;
есть ошибки в записи решения (например, √D=√81=±9), которые не повлияли на ход решения и ответы.

iНомер: CC11F7

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `(x−1)(x^2 +6x+9)=5(x+3)`.

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

-4;-3;2

Решение

Преобразуем уравнение:
`(x−1)(x+3)^2=5(x + 3)`
`(x+3)((x−1)(x+3)−5)=0`
`(x+3)(x^2+2x−8)=0`
`(x+3)(x^2+4x-2x−8)=0`
`(x+3)(x(x+4)-2(x+4))=0`
`(x+3)(x+4)(x-2)=0`
`x+3=0`
`x+4=0`
`x-2=0`
`x =−3`, `x=−4` или `x=2`.
Ответ: -4;-3;2

iНомер: 9947F1

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `(x^2 −36)^2 +(x^2 +4x−12)^2 =0`.

Для проверки впишите корни по возрастанию через ;

-6

Решение

Поскольку
`(x^2−36)^2≥0` и `(x^2+ 4x−12)^2≥0`,
решениями исходного уравнения являются общие решения уравнений
`x^2−36=0` и `x^2+4x−12=0` (уравнение будет равно 0 только если сразу обе его части будут равны 0).
Уравнение `x^2−36=0` имеет корни −6 и 6.
Уравнение `x^2+4x-12=0` имеет корни −6 и 2.
Значит, решением исходного уравнения является `x=−6`.
Ответ: -6.

iНомер: D6770A

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `1/x^2+4/x−12=0`.

Впишите корни по возрастанию через ;

-1/6;1/2

Решение

`1/x^2+4/x−12=0`
Пусть `t=1/x` , тогда уравнение принимает вид
`t^2+4t-12=0`, следовательно `t=-6` или `t=2`
Уравнение вида `1/x=-6`  имеет корень `-1/6`.
Уравнение вида `1/x=2`  имеет корень `1/2`.
Ответ: -1/6;1/2

iНомер: 7A30BC

20. Дайте развернутый ответ.

Решите уравнение `1/(x−2)^2−1/(x−2)−6=0`.

Впишите корни по возрастанию через ;

3/2;7/3

Решение

Пусть `t=1/(x−2)`, тогда уравнение принимает вид
`t^2-t-6=0`, следовательно `t=−2` или `t = 3`.
`1/(x−2)=-2`
`-2(x−2)=1`
`-2x+4=1`
`-2x=-3`
`x=3/2`
Уравнение `1/(x−2)=-2` имеет корень `3/2`
`1/(x−2)=3`
`3(x−2)=1`
`3x=7`
`x=7/3`
Уравнение `1/(x−2)=3` имеет корень `7/3`
Ответ: 3/2;7/3

iНомер: 758215

20. Дайте развернутый ответ.

Решите неравенство `(−10)/((x−3)^2 −5)≥0`.

Впишите интервал в формате (☐-√☐;☐+√☐)

(3-√5;3+√5)

Решение

`(−10)/((x−3)^2 -5)≥0`
Делим обе стороны на −10
`1/((x−3)^2 -5)≤0`
Знаменатель должен быть меньше 0
`(x−3)^2 -5<0`
`(x−3)^2 -(sqrt5)^2<0`
`(x−3-sqrt5)(x−3+sqrt5)<0`
Дальше решаем методом интервалов
   +               _               +
______.__________.________
   `3-sqrt5`      `3+sqrt5`
 `3-sqrt5<x<3+sqrt5`
Ответ: (3-√5;3+√5)

Либо так:
`(−10)/((x−3)^2 -5)≥0`
Делим обе стороны на −10
`1/((x−3)^2 -5)≤0`
Знаменатель должен быть меньше 0
`(x−3)^2 -5<0`
`(x−3)^2 <5`
`-sqrt5<x−3<sqrt5`
`-sqrt5<x−3` и `x−3<sqrt5`
`-sqrt5+3<x` и `x<sqrt5+3`
`x∈(3-sqrt5;3+sqrt5)`
Ответ: (3-√5;3+√5)

iНомер: C62D48

20. Дайте развернутый ответ.

Решите неравенство `(x−7)^2 <sqrt11(x−7)`.

Впишите интервал в формате (☐;☐+√☐)

(7;7+√11)

Решение

`(x−7)^2 <sqrt11(x−7)`
Преобразуем исходное неравенство:
`(x−7)^2 -sqrt11(x−7)<0`
`(x−7)(x−7) -sqrt11(x−7)<0`
`(x−7)((x−7) -sqrt11)<0`
`(x−7)(x−7−sqrt11)<0`
`(x−7)(x−(7+sqrt11))<0`,
следовательно, `7<x<7+sqrt11`.
`x∈(7;7+sqrt11)`
Ответ: (7;7+√11)

iНомер: D2F0FF

20. Дайте развернутый ответ.

Решите неравенство `(−19)/((x+5)^2 −6)≥0`.

Впишите интервал в формате (-☐-√☐;-☐+√☐)

(-5-√6;-5+√6)

Решение

`(−19)/((x+5)^2 −6)≥0`
Делим обе стороны на −19
`1/((x+5)^2 -6)≤0`
Знаменатель должен быть меньше 0
`(x+5)^2 -6<0`
`(x+5)^2  <6`
`-sqrt6<x+5<sqrt6`
`-sqrt6<x+5` и `x+5<sqrt6`
`-sqrt6-5<x` и `x<sqrt6-5`
`x∈(-5-sqrt6;-5+sqrt6)`
Ответ: (-5-√6;-5+√6)

iНомер: 517272

20. Дайте развернутый ответ.

Решите систему уравнений

`{(x^2 +y=5),(6x^2 −y=2):}`

Впишите решения системы в формате (-☐;☐);(☐;☐)

(-1;4);(1;4)

Решение

Исключаем одну из переменных путем сложения уравнений.
`7x^2=7`
`x^2=1`
`x=±1`
`(-1)^2+y=5`
`1^2+y=5`
`y=4`
`y=4`
Ответ: (-1;4);(1;4)

iНомер: 7CB2F7

20. Дайте развернутый ответ.

Решите систему уравнений

`{(5x^2 -9x=y),(5x -9=y):}`

Впишите решения системы в формате (☐;-☐);(☐;☐)

(1;-4);(1,8;0)

Решение

Правые части уравнений системы равны, значит,
`5x^2−9x=5x−9`
`(5x−9)(x−1)=0`,
`x−1=0`
`5x−9=0`
`x =1` или `x =1,8`
Подставляем x в `5x -9=y` и находим y.
При x =1 получаем y=−4.
При x =1,8 получаем y=0.
Решения системы уравнений: (1; − 4) и (1,8; 0).
Ответ: (1;-4);(1,8;0)

iНомер: AF0F2A

20. Дайте развернутый ответ.

Решите систему уравнений

`{(2x^2 +3y^2=11),(4x^2+6y^2=11x):}`

Впишите решения системы в формате (☐;-☐);(☐;☐)

(2;-1);(2;1)

Решение

Перенесем переменную в левую часть равенства
`{(2x^2 +3y^2=11),(4x^2+6y^2-11x=0):}`
Умножим обе части на -2
`{(-4x^2 -6y^2=-22),(4x^2+6y^2-11x=0):}`
Исключим одну из переменных путем сложения уравнений
`-11x=-22`
`x=2`
Подставим значение x в `2x^2 +3y^2=11`
`2*2^2 +3y^2=11`
`y=±1`
Решения системы уравнений: (2; − 1) и (2; 1).
Ответ: (2;-1);(2;1)

iНомер: F821AB

20. Дайте развернутый ответ.

Найдите значение выражения 

`25a−5b+22` , если `(3a-7b+6)/(7a-3b+6)=4`

4

Решение

Преобразуем выражение:
`3a−7b+6=28a−12b+24`
`3a−7b+6-28a+12b-24=0`
`25a−5b+18=0`, значит
`25a−5b+22=4` 
Ответ: 4.

iНомер: E18558