Тренажер на задание 15 ОГЭ по математике: треугольники (геометрия)

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=48°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

24

Решение

Биссектриса делит угол пополам, значит
∠BAD = 48 / 2 = 24°
Ответ: 24

Номер: 39A249

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC известно, что AC=14, BM — медиана, BM=10. Найдите AM.

7

Решение

Медиана делит сторону пополам, значит
AM = АС/2 = 14/2 = 7
Ответ: 7

Номер: 67E364

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике два угла равны 54° и 58°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

68

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, чтобы найти третий угол треугольника, нужно сложить два известных угла и вычесть их сумму из 180°
180° − (54° + 58°) = 68°
Ответ: 68

Номер: 32B7F7

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 97°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

83

Решение

Внутренний угол С треугольника ABC и внешний угол при вершине C смежные, а значит их сумма равна 180°. Тогда, внешний угол при вершине C равен
180°-97°=83°
Ответ: 83

Номер: 0B25FB

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC=108°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

36

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.
Треугольник равнобедренный, значит углы при основании равны.
∠ВСА =∠ВАС = (180° - 108°) / 2 = 36°
Ответ: 36

Номер: 64AC4E

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC=37°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

53

Решение

ABH - прямоугольный треугольник, так как BH - высота.
По теореме о сумме углов треугольника
∠ABH+∠AHB+∠BAH = 180°
∠ABH = 180° - ∠AHB - ∠BAH
∠BAH - это ∠BAC, он равен 37°
∠AHB = 90°
∠ABH = 180 - 90 - 37 = 53°
Ответ: 53

Номер: 3A1100

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

56

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.
Прямой угол равен 90°.
Следовательно, чтобы найти другой острый угол треугольника, нужно из 180° отнять 90° и отнять известный угол.
180° − 90° − 34° = 56°
Ответ: 56

Номер: FA57C4

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.

29

Решение

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
гипотенуза² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841
гипотенуза = √841 = 29
Ответ: 29

Номер: 9B2289

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 8 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

15

Решение

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.
√ 17² - 8² = √ 289 - 64 = √ 225 = 15
Ответ: 15

Номер: B1D433

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Высота равностороннего треугольника равна `13sqrt3`. Найдите сторону этого треугольника.

26

Решение

В равностороннем треугольнике высота является медианой и биссектрисой. Она делит этот треугольник на 2 прямоугольных треугольника.
Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и высота - катетом.
а = 13√ 3, b = с/2, с - ?
По теореме Пифагора а² + b² = с²
$с^2=а^2+{(\frac с2)}^2$
$с^2-{(\frac с2)}^2=а^2$
$с^2-\frac{с^2}4=а^2$
$\frac{4с^2-с^2}4=а^2$
$\frac34с^2=а^2$
$с^2=\frac43а^2$
$с=\sqrt{\frac43а^2}$
$с=\frac2{\sqrt3}а$

c = ²/_√3 * 13√3 = 2 * 13 = 26
Ответ: 26

Номер: 98F294

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Сторона равностороннего треугольника равна `10sqrt3`. Найдите медиану этого треугольника.

15

Решение

Поскольку проведена медиана, а медиана в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора.

Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и медиана - катетом.
с = 10√ 3, b = с/2, а - ?
По теореме Пифагора а² + b² = с²
а² = с² - b²
$а^2=с^2-{(\frac с2)}^2=\frac{4с^2-с^2}4=\frac{3с^2}4=\frac34с^2$
$а=\sqrt{\frac34с^2}=\frac{\sqrt3}2c$
a = √3/2 * 10√ 3 = 10 * 3/2 = 15
Ответ: 15

Номер: 02147B

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника.

21

Решение

Поскольку проведена высота, а высота перпендикулярна стороне, на которую проведена, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике высота является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и высота - катетом.
с = 14√ 3, b = с/2, а - ?
По теореме Пифагора а² + b² = с²
а² = с² - b²
$а^2=с^2-{(\frac с2)}^2=\frac{4с^2-с^2}4=\frac{3с^2}4=\frac34с^2$
$а=\sqrt{\frac34с^2}=\frac{\sqrt3}2c$
a = √3/2 * 14√ 3 = 14 * 3/2 = 21
Ответ: 21

Номер: C404FC

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Сторона равностороннего треугольника равна `12sqrt3`. Найдите биссектрису этого треугольника.

18

Решение

Поскольку проведена биссектриса, а биссектриса в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике биссектриса является медианой, то есть делит сторону пополам.

Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и биссектриса - катетом.
с = 12√ 3, b = с/2, а - ?
По теореме Пифагора а² + b² = с²
а² = с² - b²
$а^2=с^2-{(\frac с2)}^2=\frac{4с^2-с^2}4=\frac{3с^2}4=\frac34с^2$
$а=\sqrt{\frac34с^2}=\frac{\sqrt3}2c$
a = √3/2 * 12√ 3 = 12 * 3/2 = 18
Ответ: 18

Номер: ACC20D

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Медиана равностороннего треугольника равна `13sqrt3`. Найдите сторону этого треугольника.

26

Решение

В равностороннем треугольнике медиана является высотой. Она делит этот треугольник на 2 прямоугольных треугольника.

Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и медиана - катетом.
а = 13√ 3, b = с/2, с - ?
По теореме Пифагора а² + b² = с²
$с^2=а^2+{(\frac с2)}^2$
$с^2-{(\frac с2)}^2=а^2$
$с^2-\frac{с^2}4=а^2$
$\frac{4с^2-с^2}4=а^2$
$\frac34с^2=а^2$
$с^2=\frac43а^2$
$с=\sqrt{\frac43а^2}$
$с=\frac2{\sqrt3}а$

c = ²/_√3 * 13√3 = 2 * 13 = 26
Ответ: 26

Номер: 2B00D0

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Биссектриса равностороннего треугольника равна `13sqrt3`. Найдите сторону этого треугольника.

26

Решение

В равностороннем треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Она делит этот треугольник на 2 прямоугольных треугольника.

Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и биссектриса - катетом.
а = 13√ 3, b = с/2, с - ?
По теореме Пифагора а² + b² = с²
$с^2=а^2+{(\frac с2)}^2$
$с^2-{(\frac с2)}^2=а^2$
$с^2-\frac{с^2}4=а^2$
$\frac{4с^2-с^2}4=а^2$
$\frac34с^2=а^2$
$с^2=\frac43а^2$
$с=\sqrt{\frac43а^2}$
$с=\frac2{\sqrt3}а$

c = ²/_√3 * 13√3 = 2 * 13 = 26
Ответ: 26

Номер: 877976

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника.

27

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
`S=1/2*9*6=27`
Ответ: 27

Номер: 0DA313

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.

217

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:
S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 14 *31 = 217
Ответ: 217

Номер: 8582E2

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 21, сторона BC равна 22, сторона AC равна 28. Найдите MN.

14

Решение

Поскольку отрезок MN соединяет середины двух сторон треугольника ABC, MN является средней линией, она параллельна AC и равна её половине:
МN = АС/2 = 28/2 = 14
Ответ: 14

Номер: 1D9426

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=10, sin∠ABC=1/3. Найдите площадь треугольника ABC.

10

Решение

По теореме о площади треугольника
S=¹/₂аb•sinγ=¹/₂*6*10*1/3=10
Ответ: 10

Номер: D8DE10

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, AB=10. Найдите sinB.

0,6

Решение

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. И тот, и другой, известны. Подставляем и считаем.
sinB = АС/АВ = 6/10 = 0,6
Ответ: 0,6

Номер: A67245

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=8, AB=10. Найдите cosB.

0,8

Решение

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Подставляем известные значения и считаем.
cosB = ВС/АВ = 8/10 = 0,8
Ответ: 0,8

Номер: 36727A

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=2. Найдите tgB.

0,4

Решение

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Подставляем значения катетов и считаем.
tgB = АС/ВС = 2/5 = 0,4
Ответ: 0,4

Номер: 98C7DF

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/15, AB=45. Найдите AC.

12

Решение

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=45*4/15=12
Ответ: 12

Номер: D8213E

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=5/6, AB=18. Найдите BC.

15

Решение

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=18*5/6=15
Ответ: 15

Номер: 481278

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/6, BC=18. Найдите AC.

21

Решение

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=18*7/6=21
Ответ: 21

Номер: 1BBB13

: Обновлено: 28 ноября 2024

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC известно, что AC=12, BC=5, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

6,5

Решение

Найдем радиус описанной около этого треугольника окружности. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. А значит найдем гипотенузу АВ треугольника АВС по теореме Пифагора и разделим ее пополам.

AB = √ (AC² + BC²) = √ (5² + 12²) = √ (25 + 144) = √ 169 = 13
Найдем радиус.
`R=1/2*AB=1/2*13=13/2=6.5`
Ответ: 6,5

Номер: B1C05F

: Обновлено: 14 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=4, DC=8. Площадь треугольника ABC равна 36. Найдите площадь треугольника BCD.

24

Решение

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:
`S_(BCD) /S_(ABC)=(DC)/(AC)`, тогда
`S_(BCD)=(S_(ABC)*DC)/(AC)`
`АС=4+8=12`
`S_(BCD)=(36*8)/12=24`
Ответ: 24

Номер: E88B4B

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, M – середина стороны AB, AB=36, BC=20. Найдите CM.

18

Решение

CM — медиана, а медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, значит,
`CM=(AB)/2=36/2 =18`
Ответ: 18

Номер: AD4D6B

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=9, AC=18, MN=8. Найдите AM.

5

Решение

Треугольники ABC и MBN подобны по двум углам: ∠B — общий, ∠BMN = ∠BAC — соответственные при секущей AB, MN и AC параллельны.
Из подобия треугольников следует:
`(BM)/(AB)=(MN)/(AC)` , поэтому
`BM=(MN*AB)/(AC)=8*9/18=4`, тогда
AM = AB − BM = 9 − 4 = 5
Ответ: 5

Номер: D60018

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=18. Найдите CH.

6

Решение

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
`(AH)/(CH)=(CH)/(BH)`
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 2*18
CH² = 36
`CH =sqrt(36)`
CH =6
Ответ: 6

Номер: 3F683D

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=18, MN=8. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.

16

Решение

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:
`S_(MNB)/S_(ABC)=((MN)/(AC))^2`, ⇒
`S_(MNB)=((MN)/(AC))^2*S_(ABC)`
`S_(MNB)= (8/18)^2*81= (64*81)/324=16`
Ответ: 16

Номер: 8EBCEB

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=12, CM=18. Найдите AO.

8

Решение

Отрезки AN и CM — медианы. Медианы в треугольнике при пересечении делятся в отношении 2:1 (первое свойство медианы), считая от вершины:
`(AO)/(ON)=2/1`
Всего частей 3, следовательно,
`(AO)/(AN)=2/3` ⇒
`AO=2/3*AN=2/3*12=8`
Ответ: 8

Номер: 17EEFC

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, `BC=6sqrt2`. Найдите AC.

6

Решение

По теореме синусов:
`(AC)/sinB=(BC)/sinA`
`AC=(BC)/sinA*sinB`
`AC=(6sqrt2)/(sqrt2/2)*1/2=6`
Ответ: 6

Номер: 259003

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

В треугольнике АВС известно, что AB=8, BC=10, AC=12. Найдите cos∠ABC.

0,125

Решение

а²= b²+ с²- 2bс • cosα
2bс • cosα = b²+ с²- а²
`cosα=(b^2+с^2-а^2)/(2bc)`
`cosα=(8^2+10^2-12^2)/(2*8*10)=20/160=0,125`
Ответ: 0,125

Номер: 40840C

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Синус острого угла А треугольника АВС равен `sqrt21/5`. Найдите cosA.

0,4

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
`sin^2A+cos^2A=1`
`cos^2A = 1 - sin^2A =1 - (sqrt21/5)^2 = 1 - 21/25 = 1 - 0,84 = 0,16`
`cosA = 0,4`
Ответ: 0,4

Номер: 99B7F9

: Обновлено: 23 ноября 2023

15. Впишите правильный ответ.

Косинус острого угла А треугольника АВС равен `(3sqrt11)/10`. Найдите sinA.

0,1

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
`sin^2A+cos^2A=1`
`sin^2A = 1 - cos^2A =1 - (3sqrt11/10)^2 = 1 - 99/100 = 1 - 0,99 = 0,01`
`sinA = 0,1`
Ответ: 0,1

Номер: EE565F

: Обновлено: 19 сентября 2024