Тренажер на задание 14 ОГЭ по математике: прогрессии

b_n=b_1*q^n-1 
b₄=13*3³=351 мг
Ответ: 351

Другой вариант решения.

Через 30 минут масса колонии станет 13*3=39,
через 60 минут — 39*3=117 ,
через 90 минут масса станет 117*3 = 351 мг.
Ответ: 351

Изменение высоты отскока мячика представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b₁=360 см и знаменателем q=1/3. По формуле n-ого члена bn=b₁*q^n-1 найдем, после какого по счету отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.

b_n < 15 ⇔ b₁q^n-1 < 15 ⇔ 360 * (¹/₃)^n-1 < 15 ⇔ (¹/₃)^n-1 < ¹/₂₄

Следовательно, n=4 — минимальное целое значение, которое удовлетворяет неравенство, или счет отскока, после которого высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.
Ответ: 4

Решение на пальцах.

С каждым отскоком высота мяча снижается. Здесь прошу обратить ваше внимание, что после первого отскока высота мяча 360 см. Получим:
после первого отскока - 360
после второго 360 : 3 = 120
после третьего 120 : 3 = 40 
после четвертого 40 : 3 = 13   < 15
Ответ: 4

1я секунда - 7 м
2 - 17
3 - 27
4 - 37
5 - 47
6 - 57
7 + 17 + 27 + 37 + 47 + 57 = 192 м
Ответ: 192

Решение по формулам.

a_n =a₁ + d(n-1)
a₄ =7 + 10(6-1)=57 м пролетит камень за шестую секунду
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$
S_n=(7+57)6=192
           2
Ответ: 192

Заметим, что значения температуры вещества представляют собой арифметическую прогрессию с разностью −6. При этом температура вещества в начальный момент времени будет первым членом прогрессии, температура вещества через одну минуту — вторым членом, а температура вещества через 4 минуты — пятым членом прогрессии, следовательно, она может быть найдена по формуле

a_n=a₁ + d (n - 1)
a₅=a₁ + d (5 - 1) = -7 + (-6) * 4= -31.
Ответ: -31

Другой вариант решения.

Через минуту температура вещества станет - 7 - 6 = -12 , через две минуты — - 7 - 12 =-19 , ..., через 4 минуты температура вещества станет - 7 - 24 = -31 ^оC.
Ответ: -31

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=25 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₈, имеем:
a₈=a₁+d(8-1)=25+3*7=46
Ответ: 46

Другой вариант решения.

Такую задачу можно решить и на пальцах, не зная формулы (на ОГЭ ведь нужен только ответ).
1 ряд - 25, 2 - 28, 3 - 31, 4 - 34, 5 - 37, 6 - 40, 7 - 43, 8 - 46.
Ответ: 46

Через 7 минут масса изотопа станет 640 * ¹/₂,
через 14 минут - 640*(¹/₂)² ,
...,
через 42 минуты масса станет 
640*(¹/₂)⁶ = 640/64=10 мг
Ответ: 10

Другой вариант решения.

Заметим, что массы изотопа в заданные моменты времени представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/2. Масса изотопа в начальный момент времени является первым членом геометрической прогрессии b₁, масса изотопа через 7 минут — вторым членом прогрессии, а масса изотопа через 42 минуты − седьмым членом прогрессии и может быть определена по формуле b₇=b_1*q^7-1 .
b₇=640*(1/2)⁶=640/64=10 мг
Ответ: 10

a₁=17, d=2
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₃=17 + 2(13-1)=41
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{13}=\frac{17+41}2\ast13=377$
Ответ: 377

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с пятым членом a₅=27 и восьмым a₈=36, 
a_n =a₁ + d(n-1)  ⇒ разность равна $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$
можно заменить a₁ на a₅, но тогда и единицу в знаменателе не забываем заменить на 5.
$d=\frac{a_8-a_5}{8-5}=\frac{36-27}3=3$

a_n =a₁ + d(n-1)  ⇒ a₁ = a_n - d(n-1)
a₁ = a₅ - d (n - 1) = 27 - 3 * 4 = 15.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 14-й член прогрессии:

a₁₄= 15 + 3 * (14 - 1) = 54.
Ответ: 54

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.
Формула суммы арифметической прогрессии:
`S_n=(a_1+a_n)/2n`
Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).
С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:
2S_n=(a₁+a_n)*n
Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 190
2S_n=(a₁+a₁₉₀)*190=(1+190)*190=191*190=36290
Ответ: 36290

Лайфхак:
умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 190 * 191 = 36290
Ответ: 36290

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.
По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 16 член прогрессии:
a₁₆= 4 + 2 * (16 - 1) = 34.
Ответ: 34

Задачу можно решить иначе.
Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (16 - 2) * 2 = 6 + 28 = 34 человека.
Ответ: 34

Масса образовавшегося изотопа Б равна разности массы исходного вещества и массы оставшегося изотопа А. Каждые 8 минут остается половина атомов изотопа А, следовательно, последовательность значений масс изотопа А представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b₁=160 и знаменателем q=¹/₂. Найдем массу изотопа А через 40 минут.
40:8=5, да еще нужно учесть начальное значение, значит n=6
`b_6=b_1*(1/2)^(6-1)=160*1/32=5` мг осталось от изотопа А, а все остальное перешло к изотопу Б.
Тогда масса образовавшегося изотопа Б составит 160 − 5 = 155 мг.
Ответ: 155

Объяснение на пальцах.
Это почему-то самая сложная для понимания задача. Ну да, предметная область выбрана из физики, химии. Но давайте опираться на великий и могучий русский язык. Что-то распадается, но в отличие от других задач с изотопами, атомы не исчезают, а переходят в другое место и там остаются. Без потери массы значит: сколько ушло из А, столько пришло в Б. А слово «стабильный» помогает нам понять, что там они и остаются.
Т.к. атомы уходят каждые 8 минут, то нужно будет делить изотоп А пополам 40 : 8 = 5 раз. Получим:
1. 160 : 2 = 80
2. 80 : 2 = 40
3. 40 : 2 = 20
4. 20 : 2 = 10
5. 10 : 2 = 5
А вот теперь самое главное. Что означают эти числа?
1 способ:
Уменьшая массу изотопа А в два раза, получили, что после 40 минут у него осталось 5 мг атомов. Тогда все остальные «ушли» в Б:
160 – 5 = 155.
2 способ:
Полученные числа также говорят о том, сколько атомов «уходило» в Б каждые 8 минут. В изотопе Б они каждый раз добавлялись к тем, что уже там были, тогда будем складывать эти массы:
80 + 40 + 20 +10 + 5 = 155.
Ответ: 155