Тренажер на задание 22 ОГЭ по математике: постройте график функции

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции
$y=\left\{\begin{array}{lc}-x^2-4x+1&при\;x\geq-3,\\-x-2&при\;x<-3.\end{array}\right.$
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Впишите наибольшее значение m

5

Решение

Построим график функции y = − x − 2 при x < − 3 (прямая) и график функции y = − x² − 4x +1 при x ≥ − 3 (y = ax² + bx +c − парабола).
Абсциссу вершины параболы находим по формуле $x=(−b)/(2a)$
$x=4/-2=-2$
Подставляем значение x в функцию y = − x² − 4x +1
y = − (-2)² − 4(-2) +1 = − 4 + 8 + 1 = 5, значит, вершина имеет координаты (-2; 5).
При a < 0 ветви параболы направлены вниз.
Находим точку пересечения параболы с осью y: при х = 0 y = 1, значит координаты пересечения (0; 1)

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при 1 < m < 4 или m = 5.
Ответ: 1 < m < 4; m = 5

Для проверки нужно вписать 5

Номер: F3131F

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=((0,5x^2 +2x)⋅|x|)/(x+4)$ .

Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Впишите m

-8

Решение

Преобразуем выражение:
$y=((0,5x^2 +2x)⋅|x|)/(x+4)=(0,5x(x +4)⋅|x|)/(x+4)=(x|x|)/2$
при условии, что x ≠ −4 (значит, точка с абсциссой −4 на графике будет выколота).
Построим график функции $y=−x^2/2$ при x < −4 и −4 < x < 0 и график функции $y=x^2/2$ при x ≥ 0.
Оба графика - ветви параболы, но обращенные в разные стороны. При −a ветви вниз, при a ветви вверх.
Абсциссу вершины параболы находим по формуле $x=(−b)/(2a)$ , а поскольку в обеих случаях b=0, то и x=0, соответственно, y=0. Вершины в точке (0; 0)
При x = −4 y = −8 (координаты выколотой точки (−4; −8))

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки при m = −8.
Ответ: m = −8

Для проверки нужно вписать -8

Номер: 625FF0

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=-5-(x-2)/(x^2-2x)$

Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек.

Впишите только целое m

-5

Решение

Преобразуем выражение:
$y=-5-(x-2)/(x^2-2x)=-5-(x-2)/(x(x-2))=-5-1/x$
при условии, что x ≠ 2 (значит, точка с абсциссой 2 выколота).
Построим график. График функции вида $y=k/x$ - гипербола. При k < 0 ветви во II и IV координатных углах.
Узнаем координаты выколотой точки, подставив x в уравнение
$y=-5-1/2=-5 1/2$ , значит координаты выколотой точки (2; -5,5)
Построим гиперболу с "выколотой" точкой

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки при $m=−5$ или $m=−5,5$ .
Ответ: m=-5; m=-5,5

Для проверки нужно вписать -5

Номер: C1266B

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=\left\{\begin{array}{lc}x^2-8x+14&при\;x\geq3,\\x-2&при\;x<3.\end{array}\right.$

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Впишите минимальное значение m

-2

Решение

Построим график функции y = x − 2 при x < 3 и график функции y = x² − 8x +14 при x ≥ 3.

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = − 2 или −1< m <1.
Ответ: m = − 2; −1 < m < 1.

Для проверки введите -2

Номер: 68001C

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=(3x+5)/(3x^2+5x)$

Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Впишите k через /

9/25

Решение

Преобразуем выражение:
$y=(3x+5)/(3x^2+5x)=(3x+5)/(x(3x+5))=1/x$ при условии, что x ≠ −5/3.
Найдем координаты выколотой точки:
$x=−5/3$
$y=1/x=1/(−5/3)=−3/5$
Построим гиперболу с "выколотой" точкой.

Прямая y = kx проходит через точку (0; 0) и пересекает обе ветви гиперболы. Чтобы эта прямая имела с гиперболой только одну точку пересечения, она должна проходить через выколотую точку.
Значит, прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через точку $(−5/3; −3/5)$ .
Подставляем координаты в y = kx
$−3/5=k*(−5/3)$
$k=−3/5:(−5/3)=3/5*3/5=9/25$
Ответ: $k=9/25$

Для проверки впишите 9/25

Номер: DA94D8

: Обновлено: 20 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=x|x|−|x|−3x$ .

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Впишите большее значение m

1

Решение

Значение х, при котором выражение под модулем равно нулю, равно 0.
При x < 0
$y=x*(−x)−(−x)−3x=−x^2+x-3x=−x^2−2x$ ⇒
функция принимает вид y = − x² − 2x ; её график — парабола, ветви которой направлены вниз (так как a < 0).
Найдем координаты вершины
$x=(-b)/(2a)=2/(-2)=-1$ ,
$y=−(-1)^2−2(-1)=-1+2=1$ ⇒ вершина имеет координаты (−1; 1) .

При x ≥ 0 функция принимает вид y = x² − 4x ; её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как a>0), вершина имеет координаты (2; −4).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершину одной из парабол и пересекает другую.
Поэтому m = −4 или m = 1
Ответ: m=−4; m=1

Для проверки введите 1.

Номер: 6D7DF6

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=((x^2+0,25)(x+1))/(-1-x)$

Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Впишите наибольший k

1,25

Решение

Преобразуем выражение:
$y=((x^2+0,25)(x+1))/(-1-x)=(-(x^2+0,25)(x+1))/(1+x)=-x^2-0,25$ при условии, что x ≠ −1.
Построим параболу $y=−x^2−0,25$ с «выколотой» точкой (−1; −1,25). Ветви параболы направлены вниз, вершина — в точке (0; − 0,25).

Прямая y = kx имеет с параболой ровно одну общую точку, если она проходит через точку (−1; −1,25), то есть $−1,25=k*(-1)$ или касается параболы, т.е. уравнение $−x^2−0,25=kx$ должно иметь один корень.
Из $−1,25=k*(-1)$ следует, что $k=1,25$
Дискриминант уравнения $x^2+kx+0,25=0$ равен $k^2−1$ , и он равен нулю при k = −1 или k =1.
Получаем, что при k = 1,25, k = −1 или k =1 прямая y = kx имеет с графиком функции $y=((x^2+0,25)(x+1))/(-1-x)$ ровно одну общую точку.
Ответ: k=1,25 ; k=−1; k=1

Для проверки введите 1,25

Номер: E4E1A2

: Обновлено: 02 января 2025

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

y=∣x² +5x+6∣.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

4

Решение

Найдем абсциссы точек пересечения с осью у
$x^2 +5x+6=0$ , отсюда $x_1=-3$ , $x_2=-2$
y не может принимать отрицательные значения, так как модуль всегда неотрицательный.
При x < − 3 и x > −2 функция y = |x²+ 5x + 6| принимает вид y = x² + 5x + 6;
её график — часть параболы с вершиной (−2,5; −0,25) и направленными вверх ветвями, ограниченная точками (−3; 0) и (−2; 0).
При − 3 ≤ x ≤ −2 функция y = |x²+ 5x + 6| принимает вид y = − (x²+ 5x + 6) = − x² − 5x − 6;
её график — часть параболы с вершиной (−2,5; 0,25) и направленными вниз ветвями, ограниченная точками (− 3; 0) и (−2; 0).

Прямая y = a имеет с графиком функции y = |x²+ 5x + 6| :
0 общих точек при a < 0;
2 общих точки при a = 0 или a > 0,25;
3 общих точки при a = 0,25;
4 общих точки при 0 < a < 0,25.
Получили, что наибольшее количество точек пересечения равно 4.
Ответ: 4

Номер: C0BD4C

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=\left\{\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}1,5x-1\\-1,5x+3\\3x-10,5\end{array}&\begin{array}{l}\text{при}\\\text{при}\\\text{при}\end{array}&\begin{array}{l}x<2,\\2\leq x\leq3,\\x>3.\end{array}\end{array}\right.$

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Впишите наименьшее m

-1,5

Решение

Построим график функции y =1,5x −1 при x < 2. Это луч с началом в точке (2; 2) (точка не принадлежит лучу), проходящий через точку (0; −1).
Построим график функции y = −1,5x + 3 при 2 ≤ x ≤ 3. Это отрезок с концами в точках (2; 0) и (3; −1,5).
Построим график функции y = 3x −10,5 при x > 3. Это луч с началом в точке (3; −1,5), проходящий через точку (4; 1,5).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком функции ровно две общие точки при m = −1,5 и при 0 < m < 2.
Ответ: m = −1,5; 0 < m < 2

Введите для проверки -1,5

Номер: DCCD98

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y={\left\{\begin{array}{l}x^2+4x-1\\x\end{array}\right.\begin{array}{ccc}&\begin{array}{l}\text{при}\\\text{при}\end{array}&\begin{array}{l}x\geq-4,\\x<-4.\end{array}\end{array}}$

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Впишите наименьшее m

-5

Решение

Построим график функции y = x при x < − 4. Это луч с началом в точке (−4; −4) (точка не принадлежит лучу), проходящий через точку (−5;− 5).
Построим график функции y = x²+ 4x −1 при x ≥ −4. Это часть параболы с вершиной (−2; − 5) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (−4; −1).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком функции ровно две общие точки при m = − 5 или − 4 ≤ m ≤ −1.
Ответ: m = − 5 ; − 4 ≤ m ≤ −1

Для проверки введите -5

Номер: 89C3D3

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

y=4|x−3| − x²+ 8x − 15.

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Впишите наибольшее m

1

Решение

Найдем значение х, при котором выражение под модулем равно нулю (x = 3).
Построим график функции y = 4*(−(x−3) − x²+ 8x − 15= − x² + 4x − 3 при x < 3. Это часть параболы с вершиной (2; 1) и направленными вниз ветвями, ограниченная точкой (3; 0).
Построим график функции y = − x² + 12x − 27 при x ≥ 3. Это часть параболы с вершиной (6; 9) и направленными вниз ветвями, ограниченная точкой (3; 0).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через вершину первой параболы и пересекает вторую или если она проходит через точку (3; 0) . Получаем, что m = 0 или m =1.
Ответ: m = 0; m =1

Для проверки впишите 1

Номер: F98AF0

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y={\left\{\begin{array}{l}x^2-6x+11\\x+3\end{array}\right.\begin{array}{ccc}&\begin{array}{l}\text{при}\\\text{при}\end{array}&\begin{array}{l}x\geq2,\\x<2.\end{array}\end{array}}$

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Впишите наименьшее m

2

Решение

Построим график функции y = x + 3 при x < 2. Это луч с началом в точке (2; 5) (точка не принадлежит лучу), проходящий через точку (0; 3).
Построим график функции y = x²− 6x +11 при x ≥ 2. Это часть параболы с вершиной (3; 2) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (2; 3).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком функции ровно две общие точки при m = 2 или 3 < m< 5.
Ответ: m = 2 ; 3 < m < 5

Для проверки впишите 2

Номер: 38ED33

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=(4,5|x|-1)/(|x|-4,5x^2)$

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Впишите наибольший k

20,25

Решение

Преобразуем выражение:
$(4,5|x|-1)/(|x|-4,5x^2)=(4,5|x|-1)/(|x|(1-4,5|x|))=-1/|x|$ при условии, что $x≠2/9$ и $x≠−2/9$ .
Построим график функции $y=1/x$ при x < 0. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей четверти, проходящая через точку (−1; −1), с выколотой точкой $(−2/9;−9/2)$ .
Построим график функции $y=−1/x$ при x > 0. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвёртой четверти, проходящая через точку (1; −1), с выколотой точкой $(2/9;−9/2)$ .

Прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки, если она совпадает с осью Ox либо если она проходит через точку $(−2/9;−9/2)$ или через точку $(2/9;−9/2)$
Получаем, что k = − 20,25, k = 0 или k = 20,25.
Ответ: k = − 20,25; k = 0; k = 20,25.

Для проверки впишите 20,25

Номер: 381A79

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=\left\{\begin{array}{lc}x^2+4x+4&\mathrm{при} x\geq-3,\\-\frac3x&\mathrm{при} x<-3.\end{array}\right.$

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Впишите минимальное m

0

Решение

Построим график функции y = x² + 4x + 4 при x ≥ −3. Это часть параболы с вершиной (-2; 0) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (-3; 1).
Построим график функции $y=-3/x$ при x < −3. Это часть гиперболы, расположена во II четверти и ограничена точкой (-3; 1).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком одну общую точку, когда m > 1 или m = 0, и две общие точки при m = 1.
Ответ: m = 0; m > 1; m = 1

Для проверки впишите 0

Номер: 64F750

: Обновлено: 20 февраля 2025

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

y=|x|⋅(x+1)−5x.

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Впишите большее значение m

9

Решение

Находим x, при котором выражение под модулем равно 0, это x=0.
Тогда при раскрытии модуля, получаем кусочно-заданную функцию
$y=\left\{\begin{array}{lc}x\ast(x+1)-5x=x^2-4x&\mathrm{при} x\geq0,\\-x\ast(x+1)-5x=-x^2-6x&\mathrm{при} x<0.\end{array}\right.$
Построим график функции y = x² − 4х при x ≥ 0. Это часть параболы с вершиной (2; -4) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (0; 0).
Построим график функции y = − x² − 6х при x < 0. Это часть параболы с вершиной (-3; 9) и направленными вниз ветвями, ограниченная точкой (0; 0).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, если проходит через вершины парабол. Значит, m = −4 или m = 9.
Ответ: m = −4; m = 9

Для проверки впишите 9

Номер: FD51C3

: Обновлено: 28 ноября 2024

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

$y=1/2(|x/3-3/x|+x/3+3/x)$

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Впишите наибольшее значение m

1

Решение

Найдем промежутки смены знака модуля.
$x/3-3/x=0$
$(x^2-9)/(3x)=0$
$x≠0$
$x^2-9=0$
$x^2=9$
$x_1=-3$ , $x_2=3$ .
При x∈[-3; 0) ⋃ [3; +∞) модуль со знаком +
При x∈(-∞; 3) ⋃ (0; 3) модуль со знаком −
1) x∈[-3;0]⋃[3;+∞] +
$y=1/2(+(x/3-3/x)+x/3+3/x)=1/2(x/3-3/x+x/3+3/x)=1/2*(2x)/3=x/3=1/3x$
Построим график функции $y=1/3x$ при -3 ≤ x < 0 и x ≥ 3. Это части прямой, точка (0; 0) выколота.
х -3 0 3 6
у -1 0 1 2

2) x∈(-∞; 3) ⋃ (0; 3) −
$y=1/2(-(x/3-3/x)+x/3+3/x)=1/2(-x/3+3/x+x/3+3/x)=1/2*6/x=3/x$
Построим график функции $y=3/x$ . Это части гиперболы в I и III четверти.
III I
x -6 -3 1 2 3
y -0,5 -1 3 1,5 1

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку при m = −1 или m = 1.
Ответ: m = −1; m = 1

Для проверки введите 1

Номер: 4FBE10

: Обновлено: 22 ноября 2023

22. Дайте развернутый ответ.

Постройте график функции

y=x² −|8x+3|.

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Впишите меньшее m

-13

Решение

Найдем значение х, при котором выражение под модулем равно нулю.
$8x+3=0$
$x=-3/8$
Построим график функции $y=x^2+8x+3$ при $x<-3/8$ . Это часть параболы с вершиной (-4; -13) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой $(-3/8;9/64)$ .
Построим график функции $y=x^2−8x−3$ при $x≥-3/8$ . Это часть параболы с вершиной (4; -19) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой $(-3/8;9/64)$ .

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через вершину первой параболы и пересекает вторую или если она проходит через точку $(-3/8;9/64)$ . Получаем, что $m=9/64$ или $m=-13$ .
Ответ: m = -13; m = 9/64

Для проверки впишите -13

Номер: A450AB

: Обновлено: 24 ноября 2023