Тренажер на задание 22 ОГЭ по математике: постройте график функции

Построим график функции y = − x − 2 при x < − 3 (прямая)  и график функции y = − x² − 4x +1 при x ≥ − 3 (y = ax² + bx +c − парабола).
Абсциссу вершины параболы находим по формуле `x=(−b)/(2a)`
`x=4/-2=-2`
Подставляем значение x в функцию y = − x² − 4x +1
y = − (-2)² − 4(-2) +1 = − 4 + 8 + 1 =  5, значит, вершина имеет координаты (-2; 5).
При a < 0 ветви параболы направлены вниз.
Находим точку пересечения параболы с осью y: при х = 0  y = 1, значит координаты пересечения (0; 1)

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при 1 < m < 4 или m = 5.
Ответ: 1 < m < 4; m = 5

Для проверки нужно вписать 5

Преобразуем выражение:
`y=((0,5x^2 +2x)⋅|x|)/(x+4)=(0,5x(x +4)⋅|x|)/(x+4)=(x|x|)/2`
при условии, что x ≠ −4 (значит, точка с абсциссой −4 на графике будет выколота).
Построим график функции `y=−x^2/2` при x < −4 и −4 < x < 0 и график функции `y=x^2/2` при x ≥ 0.
Оба графика - ветви параболы, но обращенные в разные стороны. При −a ветви вниз, при a ветви вверх. 
Абсциссу вершины параболы находим по формуле `x=(−b)/(2a)`, а поскольку в обеих случаях b=0, то и x=0, соответственно, y=0. Вершины в точке (0; 0)
При x = −4 y = −8 (координаты выколотой точки (−4; −8))

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки при m = −8.
Ответ: m = −8

Для проверки нужно вписать -8

Преобразуем выражение:
`y=-5-(x-2)/(x^2-2x)=-5-(x-2)/(x(x-2))=-5-1/x`
при условии, что x ≠ 2 (значит, точка с абсциссой 2 выколота).
Построим график. График функции вида `y=k/x` - гипербола. При k < 0 ветви во II и IV координатных углах.
Узнаем координаты выколотой точки, подставив x в уравнение
`y=-5-1/2=-5 1/2`, значит координаты выколотой точки (2; -5,5)
Построим гиперболу с "выколотой" точкой

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки при `m=−5` или `m=−5,5`.
Ответ: m=-5; m=-5,5

Для проверки нужно вписать -5

Построим график функции y = x − 2 при x < 3 и график функции y = x² − 8x +14 при x ≥ 3.

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = − 2 или −1< m <1.
Ответ: m = − 2; −1 <  m < 1.

Для проверки введите -2

Преобразуем выражение:
`y=(3x+5)/(3x^2+5x)=(3x+5)/(x(3x+5))=1/x` при условии, что x ≠ −5/3.
Найдем координаты выколотой точки:
`x=−5/3`
`y=1/x=1/(−5/3)=−3/5`
Построим гиперболу с "выколотой" точкой.

Прямая y = kx проходит через точку (0; 0) и пересекает обе ветви гиперболы. Чтобы эта прямая имела с гиперболой только одну точку пересечения, она должна проходить через выколотую точку.
Значит, прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через точку `(−5/3; −3/5)`.
Подставляем координаты в y = kx
`−3/5=k*(−5/3)`
`k=−3/5:(−5/3)=3/5*3/5=9/25`
Ответ: `k=9/25`

Для проверки впишите 9/25

Значение х, при котором выражение под модулем равно нулю, равно 0.
При x < 0 
`y=x*(−x)−(−x)−3x=−x^2+x-3x=−x^2−2x`   ⇒
функция принимает вид y = − x² − 2x ; её график — парабола, ветви которой направлены вниз (так как a < 0).
Найдем координаты вершины
`x=(-b)/(2a)=2/(-2)=-1`,
`y=−(-1)^2−2(-1)=-1+2=1`    ⇒ вершина имеет координаты (−1; 1) .

При x ≥ 0 функция принимает вид y = x² − 4x ; её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как a>0), вершина имеет координаты (2; −4).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершину одной из парабол и пересекает другую.
Поэтому m = −4 или m = 1
Ответ: m=−4; m=1

Для проверки введите 1.

Преобразуем выражение:
`y=((x^2+0,25)(x+1))/(-1-x)=(-(x^2+0,25)(x+1))/(1+x)=-x^2-0,25` при условии, что x ≠ −1.
Построим параболу `y=−x^2−0,25` с «выколотой» точкой (−1; −1,25). Ветви параболы направлены вниз, вершина — в точке (0; − 0,25).

Прямая y = kx имеет с параболой ровно одну общую точку, если она проходит через точку (−1; −1,25), то есть `−1,25=k*(-1)`  или касается параболы, т.е. уравнение `−x^2−0,25=kx` должно иметь один корень.
Из `−1,25=k*(-1)` следует, что `k=1,25`
Дискриминант уравнения `x^2+kx+0,25=0` равен `k^2−1`, и он равен нулю при k = −1 или k =1.
Получаем, что при k = 1,25, k = −1 или k =1 прямая y = kx имеет с графиком функции `y=((x^2+0,25)(x+1))/(-1-x)` ровно одну общую точку.
Ответ: k=1,25 ; k=−1; k=1

Для проверки введите 1,25

Найдем абсциссы точек пересечения с осью у
`x^2 +5x+6=0`, отсюда `x_1=-3`, `x_2=-2`
y не может принимать отрицательные значения, так как модуль всегда неотрицательный.
При x < − 3 и x > −2 функция y = |x²+ 5x + 6| принимает вид y = x² + 5x + 6;
её график — часть параболы с вершиной (−2,5; −0,25) и направленными вверх ветвями, ограниченная точками (−3; 0) и (−2; 0).
При − 3 ≤ x ≤ −2 функция y = |x²+ 5x + 6| принимает вид y = − (x²+ 5x + 6) = − x² − 5x − 6;
её график — часть параболы с вершиной (−2,5; 0,25) и направленными вниз ветвями, ограниченная точками (− 3; 0) и (−2; 0).

Прямая y = a имеет с графиком функции y = |x²+ 5x + 6| :
0 общих точек при a < 0;
2 общих точки при a = 0 или a > 0,25;
3 общих точки при a = 0,25;
4 общих точки при 0 < a < 0,25.
Получили, что наибольшее количество точек пересечения равно 4.
Ответ: 4

Построим график функции y =1,5x −1 при x < 2. Это луч с началом в точке (2; 2) (точка не принадлежит лучу), проходящий через точку (0; −1).
Построим график функции y = −1,5x + 3 при 2 ≤ x ≤ 3. Это отрезок с концами в точках (2; 0) и (3; −1,5).
Построим график функции y = 3x −10,5 при x > 3. Это луч с началом в точке (3; −1,5), проходящий через точку (4; 1,5).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком функции ровно две общие точки при m = −1,5 и при 0 < m < 2.
Ответ: m = −1,5; 0 < m < 2

Введите для проверки -1,5

Построим график функции y = x при x < − 4. Это луч с началом в точке (−4; −4) (точка не принадлежит лучу), проходящий через точку (−5;− 5).
Построим график функции y = x²+ 4x −1 при x ≥ −4. Это часть параболы с вершиной (−2; − 5) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (−4; −1).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком функции ровно две общие точки при m = − 5 или − 4 ≤ m ≤ −1.
Ответ: m = − 5 ; − 4 ≤ m ≤ −1

Для проверки введите -5

Найдем значение х, при котором выражение под модулем равно нулю (x = 3).
Построим график функции y = 4*(−(x−3) − x² + 8x − 15= − x² + 4x − 3 при x < 3. Это часть параболы с вершиной (2; 1) и направленными вниз ветвями, ограниченная точкой (3; 0).
Построим график функции y = − x² + 12x − 27 при x ≥ 3. Это часть параболы с вершиной (6; 9) и направленными вниз ветвями, ограниченная точкой (3; 0).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через вершину первой параболы и пересекает вторую или если она проходит через точку (3; 0) . Получаем, что m = 0 или m =1.
Ответ: m = 0; m =1

Для проверки впишите 1

Построим график функции y = x + 3 при x < 2. Это луч с началом в точке (2; 5) (точка не принадлежит лучу), проходящий через точку (0; 3).
Построим график функции y = x²− 6x +11 при x ≥ 2. Это часть параболы с вершиной (3; 2) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (2; 3).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком функции ровно две общие точки при m = 2 или 3 < m< 5.
Ответ: m = 2 ; 3 < m < 5

Для проверки впишите 2

Преобразуем выражение:
`(4,5|x|-1)/(|x|-4,5x^2)=(4,5|x|-1)/(|x|(1-4,5|x|))=-1/|x|` при условии, что `x≠2/9` и `x≠−2/9`.
Построим график функции `y=1/x` при x < 0. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей четверти, проходящая через точку (−1; −1), с выколотой точкой `(−2/9;−9/2)`.
Построим график функции `y=−1/x` при x > 0. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвёртой четверти, проходящая через точку (1; −1), с выколотой точкой `(2/9;−9/2)`.

Прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки, если она совпадает с осью Ox либо если она проходит через точку `(−2/9;−9/2)`  или через точку `(2/9;−9/2)`
Получаем, что k = − 20,25, k = 0 или k = 20,25.
Ответ: k = − 20,25; k = 0; k = 20,25.

Для проверки впишите 20,25

Построим график функции y = x² + 4x + 4 при x ≥ −3. Это часть параболы с вершиной (-2; 0) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (-3; 1).
Построим график функции `y=-3/x` при x < −3. Это часть гиперболы, расположена во II четверти и ограничена точкой (-3; 1).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком одну общую точку, когда m > 1 или m = 0, и две общие точки при m = 1.
Ответ: m = 0; m > 1; m = 1

Для проверки впишите 0

Находим x, при котором выражение под модулем равно 0, это x=0.
Тогда при раскрытии модуля, получаем кусочно-заданную функцию
$y=\left\{\begin{array}{lc}x\ast(x+1)-5x=x^2-4x&\mathrm{при} x\geq0,\\-x\ast(x+1)-5x=-x^2-6x&\mathrm{при} x<0.\end{array}\right.$
Построим график функции y = x² − 4х при x ≥ 0. Это часть параболы с вершиной (2; -4) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (0; 0).
Построим график функции y = − x² − 6х при x < 0. Это часть параболы с вершиной (-3; 9) и направленными вниз ветвями, ограниченная точкой (0; 0).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, если проходит через вершины парабол. Значит, m = −4 или m = 9.
Ответ: m = −4; m = 9

Для проверки впишите 9

Найдем промежутки смены знака модуля.
`x/3-3/x=0`
`(x^2-9)/(3x)=0`
`x≠0`
`x^2-9=0`
`x^2=9`
`x_1=-3`, `x_2=3`.
При x∈[-3; 0) ⋃ [3; +∞) модуль со знаком +
При x∈(-∞; 3) ⋃ (0; 3) модуль со знаком −
1)      x∈[-3;0]⋃[3;+∞] +
`y=1/2(+(x/3-3/x)+x/3+3/x)=1/2(x/3-3/x+x/3+3/x)=1/2*(2x)/3=x/3=1/3x`
Построим график функции `y=1/3x` при -3 ≤ x < 0 и x ≥ 3. Это части прямой, точка (0; 0) выколота.
х  -3 0  3 6
у  -1 0  1 2

2)      x∈(-∞; 3) ⋃ (0; 3) −
`y=1/2(-(x/3-3/x)+x/3+3/x)=1/2(-x/3+3/x+x/3+3/x)=1/2*6/x=3/x`
Построим график функции `y=3/x`. Это части гиперболы в I и III четверти.
      III          I
x  -6   -3    1  2  3
y -0,5 -1   3 1,5 1

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку при m = −1 или m = 1.
Ответ: m = −1; m = 1

Для проверки введите 1

Найдем значение х, при котором выражение под модулем равно нулю.
`8x+3=0`
`x=-3/8`
Построим график функции `y=x^2+8x+3` при `x<-3/8`. Это часть параболы с вершиной (-4; -13) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой `(-3/8;9/64)`.
Построим график функции `y=x^2−8x−3` при `x≥-3/8`. Это часть параболы с вершиной (4; -19) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой `(-3/8;9/64)`.

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через вершину первой параболы и пересекает вторую или если она проходит через точку `(-3/8;9/64)` . Получаем, что `m=9/64` или `m=-13`.
Ответ: m = -13; m = 9/64

Для проверки впишите -13