Вариант 281124 ОГЭ по математике из заданий ФИПИ

Ответ: 7425

Между сараем и гаражом 4*10=40 шт. Дорожки 25 шт. Всего 65 шт. 65:10=6,5, округляем до 7
Ответ: 7

Сторона каждой клетки на плане равна 2 м. Периметр в клетках равен 18 клеток. 18*2=36 метров.
Ответ: 36

В данном случае не имеет значения, в метрах кв. тут решать или в клетках, потому что процент будет одинаков. В клетках проще и быстрее.
Весь участок 15х10 клеток, то есть всего 150 клеток.
Дом 17 кл.
Гараж 12 кл.
Сарай 6 кл.
Баня 9 кл.
Всего строения 44 кл.
150 кл. - 100%
44 кл. - х%
х = 44 * 100 / 150 ≈ 29 %
Ответ: 29

Сторона каждой клетки на плане равна 2 м.
1 клетка = 2*2=4 м². 
Площадь теплицы:
1*3*4=3*4=12 м²
площадь гаража
4*3*4=48 м²
`12/48=0,25 или 25`%
100%-25%=75%
Ответ: 75

Чтобы установить газовое оборудование, понадобится
20 000 + 15 370 = 35 370 руб.
Для установки электрического оборудования понадобится
15 000 + 14 000 = 29 000 руб.
Разница в стоимости составляет
35 370 − 29 000 = 6 370 руб.
Час обогрева газом стоит
4,9 · 1,6 = 7,84 руб./ч.
Час обогрева электричеством стоит
4,2 · 4,9 = 20,58 руб./ч.
Разница в стоимости составляет
20,58 − 7,84 = 12,74 руб./ч.
Значит, экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости установки газового и электрического отопления через дробь:
`6370/12,74=500` часов.
Ответ: 500

4,4-1,7=2,7

`5/7=0,71...`, значит оно принадлежит промежутку [0,7 ; 0,8]
Ответ 3.

`sqrt((16a^14)/a^8)=sqrt(16a^(14-8))=sqrt(16a^6)=sqrt(4^2*(a^3)^2)=|4*a^3|`
`|4*3^3|=4*27=108`

`x^2 −8x+12=0`
Приведенное квадратное уравнение. 
`D=b^2-4ac=(-8)^2-4*12=16`
D > 0, значит 2 корня.
По теореме Виета
`х_1 + х_2 = -b`
`х_1 * х_2 = c`
`х_1 + х_2 = 8`
`х_1 * х_2 = 12`
`х_1 = 6`
`х_2 = 2`
Ответ: `6`

`3/150=0,02` - вероятность выбрать неисправный фонарик
`1-0,02=0,98` - вероятность выбрать исправный фонарик
Ответ: 0,98

Для у = ах² + bх + с 
если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, – то вниз;
с – это ордината точки пересечения параболы с осью у, с > 0 - парабола пересекает у выше 0,  с < 0 - ниже.
Ответ: 132

`S=(d_1d_2sinα)/2`
`d_2=(2S)/(d_1sinα)`
`d_2=(2*3)/(6*1/11)`
`d_2=6*11/6`
`d_2=11`
Ответ: `11`

Первое неравенство х-2,6≤0
х≤2,6

Второе неравенство х-1≥1
х≥2

Область пересечения [2; 2,6].

Ответ: 1

1я секунда - 7 м
2 - 17
3 - 27
4 - 37
5 - 47
6 - 57
7 + 17 + 27 + 37 + 47 + 57 = 192 м
Ответ: 192

Решение по формулам.

a_n =a₁ + d(n-1)
a₄ =7 + 10(6-1)=57 м пролетит камень за шестую секунду
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$
S_n=(7+57)6=192
           2
Ответ: 192

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=18*7/6=21
Ответ: 21

Радиус окружности равен половине диаметра. В данном случае диаметром является диагональ квадрата. А значит исходя из того, что диагональ в квадрате образует два прямоугольных треугольника можно ее найти стороны, используя теорему Пифагора. 

$\left(2\ast4\surd2\right)^2=2x^2\\x^2=\frac{\left(2\ast4\surd2\right)^2}2\\x=\sqrt{\frac{\left(2\ast4\surd2\right)^2}2}\\х=\frac{2\ast4\surd2}{\sqrt2}=8$
Ответ: 8

Лайфхак:

берем число перед корнем из двух и умножаем его на 2.
4*2=8
Ответ: 8

Сумма односторонних углов АBС и ВCD равна 180°, отсюда
∠ВCD = 180° - 72° = 108°.
Диагональ ромба AC является биссектрисой угла ВCD, поэтому делит его пополам
∠ACD = 108° / 2 = 54°.
Ответ: 54

2 способ для тех, кто забыл свойства диагонали ромба
По определению ромба все его стороны равны. Тогда треугольник АВС равнобедренный (ВС=ВА), а значит углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда
∠ВСА = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 72°) / 2 = 54°
ВС||АD, а СА - секущая, значит ∠ВСА = ∠САD = 54° как накрест лежащие.
Треугольник АDС так же равнобедренный (СD=АD), значит 
∠ACD = ∠САD = 54°
Ответ: 54

Диагональ - прямая линия, соединяющая вершины двух углов, не прилежащих к одной стороне. Находим большую. Считаем клеточки.
Ответ: 10

1) неверно, можно провести бесконечно много прямых.
2) верно по свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
3) верно, поскольку ромб — это параллелограмм, у которого всех стороны равны.

При `x≤3` исходное уравнение приводится к виду `x^2 −2x-8=0`
`D=b^2-4ac=(-2)^2-4*1*(-8)=36` ⇒ 2 корня
`x=(-b±sqrtD)/(2a)`
`x=(2±sqrt36)/(2*1)`
`x=4` или `x=-2`
Условию `x≤3` удовлетворяет только решение `x=-2`
Ответ: -2

Второй способ
При `x≤3` исходное уравнение приводится к виду `x^2 −2x-8=0`
`x^2 +2x-4x-8=0`
`x(x +2)-4(x+2)=0`
`(x +2)(x-4)=0`
`x +2=0`
`x-4=0`
`x=-2` или `x=4`
Условию `x≤3` удовлетворяет только решение `x=-2`

Пусть концентрация кислоты в первом сосуде равна `c_1`, а во втором — `c_2`.
Получаем систему уравнений:
`{(30c_1+42c_2=(30+42)*0.40),(c_1+c_2=2*0.37):}`
`{(30c_1+42*(0.74-c_1)=28.8),(c_2=0.74-c_1):}`
`{(c_1=0.19),(c_2=0.55):}`
Таким образом, во втором растворе содержится 
`42*0,55=23,1` кг кислоты.
Ответ: 23,1кг

Второй способ:
Пусть концентрация кислоты в первом сосуде равна `c_1` %, а во втором — `c_2` %.
Получаем систему уравнений:
`{((30c_1+42c_2)/72=40),((c_1+c_2)/2=37):}`
`{(30c_1+42c_2=2880),(c_1+c_2=74):}`
`{(c_1=19),(c_2=55):}`
Таким образом, во втором растворе содержится 
`42*55:100=23,1` кг кислоты.
Ответ: 23,1кг

Находим x, при котором выражение под модулем равно 0, это x=0.
Тогда при раскрытии модуля, получаем кусочно-заданную функцию
$y=\left\{\begin{array}{lc}x\ast(x+1)-5x=x^2-4x&\mathrm{при} x\geq0,\\-x\ast(x+1)-5x=-x^2-6x&\mathrm{при} x<0.\end{array}\right.$
Построим график функции y = x² − 4х при x ≥ 0. Это часть параболы с вершиной (2; -4) и направленными вверх ветвями, ограниченная точкой (0; 0).
Построим график функции y = − x² − 6х при x < 0. Это часть параболы с вершиной (-3; 9) и направленными вниз ветвями, ограниченная точкой (0; 0).

При каждом значении m прямая y = m параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, если проходит через вершины парабол. Значит, m = −4 или m = 9.
Ответ: m = −4; m = 9

Для проверки впишите 9

Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно,
∠KBC + ∠KPC = 180 градусов.
Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC = 180 градусов.
Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC =∠APK.
Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, ∠ APK = ∠ KBC, следовательно, треугольники подобны, откуда:
`(KP)/(BC)  = (AK)/(AC) = (AP)/(AB) `
`(AP)/(AB) = (KP)/(BC)`, найдём KP: 
`KP=(AP*BC)/(AB)`
`KP=(AP*BC)/(2*BC)=(AP)/2`
`34/2=17`
Ответ: 17

По определению параллелограмма основание BC параллельно AD, AК  — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы BКA и КAD равны как накрест лежащие.
Поскольку ∠BКA=∠BAК, треугольник ABК  — равнобедренный, откуда AB=BК.
Аналогично, треугольник CКD  — равнобедренный и КC=CD.
Стороны AB и CD равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:
AB=BК=КC=CD.
Таким образом, точка E  — середина стороны BC. Что и требовалось доказать.

Поскольку существует точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника, четырёхугольник можно вписать в окружность. Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противоположных углов равны 180°:
∠BAD + ∠BCD =180° 
∠BAD = 180° - ∠BCD
∠BAD = 180° - 95° = 85°
Отрезки AM,BM и CM равны как радиусы окружности, поэтому треугольники ABM и BMC — равнобедренные, откуда
∠BAD = ∠ABM = 85° и
∠ВCМ = ∠MBC = ∠ABC - ∠ABM = 115° - 85° = 30°
Рассмотрим треугольник BMC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда
∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠ BCM = 180° - 30° - 30° = 120°
По теореме синусов найдём сторону BM из треугольника BMC:
`(BC)/(sinBMC)=(BM)/(sinBCM)`
`BM = ВС * (sinBCM)/(sinBMC)`
`BM=(12*sin30°)/(sin120°)=(12*1/2)/(sqrt3/2)=4sqrt3`
Сторона AD — диаметр описанной окружности, поэтому
`AD=2BM=2*4sqrt3=8sqrt3`
Ответ: 8√3

2 способ

Точка М равноудалена от вершин. Поскольку существует точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника, четырёхугольник можно вписать в окружность.
AD - диаметр.
дуга АС = 2 ∠В = 2 ∙ 115° = 230°
дуга ВЕ = 2 ∠С = 2 ∙ 95° = 190°
Сумма всех дуг окружности 360°
ВС + АС + BE – 180° = 360°
BC + 230° + 190° - 180° = 360°
BC + 240° = 360°
BC = 120°
∠BMC опирается на дугу ВС, ∠BMC = ВС = 120°
∆BMC равнобедренный треугольник, ВС = 12, ∠BMC = 120°
по т. косинусов
BC² = a² + a² – 2 ∙ a ∙ a ∙ cos 120°
BC² = a² + a² – 2 ∙ a ∙ a ∙ ( – 1/2)
BC² = a² + a² + a²
BC² = 3a²
a² = BC²/3
a² = 12²/3
a² = 144/3
а² = 48
а = 4√3 
АЕ = 2а = 2 ∙ 4√3  = 8√3 
Ответ: 8√3