Найдите наименьшее значение функции y=(x^2−39x+39)∙e^(2−x) на отрезке [0;6].

Чтобы найти наименьшее значение функции , необходимо представлять, какая у нее форма, и сделать это можно с помощью производной, ведь производная отражает динамику функции, а в случае, если производная равна 0,  это точка экстремума функции (мин или макс).

Итак, найдем производную.
`y=(x^2−39x+39)*e^(2−x)`
`y´=(x^2−39x+39)´*e^(2−x)+(x^2−39x+39)*(e^(2−x))´`
`y´=(2x-39)*e^(2−x)-(x^2−39x+39)*e^(2−x)*(2−x)´`
`y´=(2x-39)*e^(2−x)-(x^2−39x+39)*e^(2−x)`
`y´=e^(2−x)(2x-39-(x^2-39x+39))`

Теперь найдем значение при y´=0

`e^(2−x)(2x-39-(x^2-39x+39))=0`

по множителям 
`e^(2−x)=0` (не имеет решения)

для второго множителя будут корни и они же точки экстремума
`(2x-39-(x^2-39x+39))=0`
`-x^2+41x-78=0` |:-1
`x^2-41x+78=0`
`D=1681-4*1*78=1369=37^2`
`x_1=(41+37)/2=39` (не входит в диапазон нашего отрезка)
`x_2=(41-37)/2=2`

Нашли точки экстремума функции, осталось определить, где функция росла, где убывала, на основании знака производной.  

`y´(0)=e^(2−x)(2x-39-(x^2-39x+39))=e^(2−x)(0-39-(0-0+39))`  значение будет отрицательное

`y´(10)=e^(2−x)(2x-39-(x^2-39x+39))=e^(2−x)(200-39-(100-390+39))=e^(2−x)*412` значение будет положительное

В итоге имеем для нашего отрезка, до x=2 функция убывала, так как производная отрицательная, потом с 2 росла. Значит экстремум `x_2=2`локальная точка минимума. Найдем значение функции в этой точке.

`y(2)=(x^2−39x+39)*e^(2−x)=(4−39*2+39)*1=-35`

Ответ: -35