Впишите правильный ответ.
Найдите точку максимума функции `y=(x−5)^2*e^(x−7)`.
3
Ответ
Чтобы найти наибольшее значение функции , необходимо представлять, какая у нее форма, и сделать это можно с помощью производной, ведь производная отражает динамику функции, а в случае, если производная равна 0, это точка экстремума функции (мин или макс).
Точка максимума - это абсцисса точки, в которой функция достигает максимума.
Итак, найдем производную.
`y=(x−5)^2*e^(x−7)`
`y´=(x^2-10x+25)´*e^(x−7)+(x^2-10x+25)*(e^(x−7))´`
`y´=(2x-10)*e^(x−7)+(x^2-10x+25)*e^(x−7)`
`y´=e^(x−7)*(2x-10+x^2-10x+25)`
`y´=e^(x−7)*(x^2-8x+15)`
Теперь найдем значение при y´=0
`e^(x−7)*(x^2-8x+15)=0`
по множителям
`e^(x−7)=0` (не имеет решения)
для второго множителя будут корни и они же точки экстремума
`x^2-8x+15=0`
`D=64-4*1*15=4=2^2`
`x_1=(8+2)/2=5`
`x_2=(8-2)/2=3`
Нашли точки экстремума функции, осталось определить какая из точек точка максимум
`y´(0)=e^(x−7)*(x^2-8x+15)` будет положительное значение так как оба множителя будут больше 0
`y´(4)=e^(x−7)*(x^2-8x+15)=e^(x−7)*(16-32+15)` будет отрицательное значение так как второй множитель меньше 0
`y´(10)=e^(x−7)*(x^2-8x+15)` будет положительное значение так как оба множителя будут больше 0
Получается до точки 3 функция росла, так как производная положительная, потом с 3 до 5 убывала, потом снова росла. Точка максимума это точка 3
Ответ: 3
Номер: 6D1457