Найдите точку минимума функции y=(x^2−17x+17)∙e^(7−x)

Чтобы найти наименьшее значение функции , необходимо представлять, какая у нее форма, и сделать это можно с помощью производной, ведь производная отражает динамику функции, а в случае, если производная равна 0,  это точка экстремума функции (мин или макс).
Точка минимума - это абсцисса точки, в которой функция достигает минимума.

Итак, найдем производную.
`y=(x^2−17x+17)*e^(7−x)`
`y´=(x^2−17x+17)´*e^(7−x)+(x^2−17x+17)(e^(7−x))´`
`y´=(2x-17)*e^(7-x)+(x^2−17x+17)*e^(7−x)*(7−x)´`
`y´=(2x-17)*e^(7-x)-(x^2−17x+17)*e^(7−x)`
`y´=e^(7−x)(2x-17-(x^2−17x+17))`

Теперь найдем значение при y´=0

`e^(7−x)(2x-17-(x^2−17x+17))=0`

по множителям 
`e^(7−x)=0` (не имеет решения)

для второго множителя будут корни и они же точки экстремума
`2x-17-(x^2−17x+17)=0`
`-x^2+19x-34=0` |:-1
`x^2-19x+34=0`
`D=361-4*1*34=225=15^2`
`x_1=(19+15)/2=17`
`x_2=(19-15)/2=2`

Собственно нашли точки экстремума функции, осталось определить где функция росла, где убывала, на основании знака производной.

`y´(0)=e^(7−x)(2x-17-x^2+17x-17)=e^7*(2*0-17-0+17*0-17))=e^7*(-34)=...`  значение будет отрицательное

`y´(10)=e^(7−x)(2x-17-x^2+17x-17)=e^(-3)*(2*10-17-100+170-17)=e^(-3)*56=...` значение будет положительное

`y´(20)=e^(7−x)(2x-17-x^2+17x-17)=e^(-13)(2*20-17-400+17*20-17)=e^(-13)*(-54)=...` значение будет отрицательное

В итоге имеем, до x=2 функция убывала, так как производная отрицательная, потом с 2 до 17 росла, после снова убывала. Значит локальная точка минимума x=2

Ответ: 2