Найдите наименьшее значение функции y=(3x^2+21x−21)e^x на отрезке [−5;3].

Чтобы найти наименьшее значение функции , необходимо представлять, какая у нее форма, и сделать это можно с помощью производной, ведь производная отражает динамику функции, а в случае, если производная равна 0,  это точка экстремума функции (мин или макс).

Итак, найдем производную.
`y=(3x^2+21x−21)e^x`
`y´=(3x^2+21x−21)’e^x+(3x^2+21x−21)*(e^x)´`
`y´=(3*2x+21)e^x+(3x^2+21x−21)e^x`
`y´=e^x(6x+21+3x^2+21x-21)`

Теперь найдем значение при y´=0
`e^x(6x+21+3x^2+21x-21)=0`

по множителям 
`e^x=0` (не имеет решения)

для второго множителя будут корни и они же точки экстремума
`6x+21+3x^2+21x-21=0`
`6x+3x^2+21x=0`
`3x^2+27x=0` |:3
`x^2+9x=0`
`x(x+9)=0`
`x_1=0`
`x_2=-9` (не в нашем диапазоне отрезка)

Находим значение производной в точках предела отрезка

`y´(-5)=e^x(x(x+9))=e^x(-5(-5+9))=...`  будет отрицательное значение, так как первый множитель положительный, второй отрицательный

`y´(3)=e^x(x(x+9))=e^x(3(3+9))=...`  будет положительное значение, так как первый множитель положительный, и второй тоже

В итоге понимаем, что тока x=0 это экстремуму минимума, найдем значение функции

`y(0)=(3x^2+21x−21)e^x=-21*1=-21`

Ответ: -21