Найдите наименьшее значение функции y=3x^2−10x+4lnx+11 на отрезке [10/11;12/11]

Чтобы найти наименьшее значение функции , необходимо представлять, какая у нее форма, и сделать это можно с помощью производной, ведь производная отражает динамику функции, а в случае, если производная равна 0,  это точка экстремума функции (мин или макс).

Итак, найдем производную.
`y=3x^2−10x+4lnx+11`
`y´=3*2x−10+4*1/x`
`y´=6x−10+4/x`
`y´= (10-6x)/1-4/x`

Теперь найдем значение при y´=0
`0=(10-6x)/1-4/x`
`(10-6x)/1=4/x` 
`x(10-6x)/1=4` 
`10x-6x^2-4=0`|:-2
`3x^2-5x+2=0`

`D=25-4*3*2=1`

`x_1=(5+1)/6=1`
`x_2=(5-1)/6=2/3` (вне диапазона)

Найдем значения для точки x=1

`y(1)=3x^2−10x+4lnx+11=3*1-10*1+4*0+11=4`

Теперь узнаем о поведении функции через производную

`y´(10/11)=6x−10+4/x=(6*10)/11−10+(4*11)/10<0` функция убывала
`y´(12/11)=6x−10+4/x=(6*12)/11−10+(4*11)/12>0` функция росла

Значит x = 1 точка локального минимума, а значение  функции в ней = 4

Ответ: 4