25. Дайте развернутый ответ.
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Впишите расстояние
1,8
Решение
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
`AB + CD = AB + AB = P/2`
`AB=P/4=120/4=30`
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
`S=(BC+AD)/2*BF`
`540=60/2*BF`
`BF=540/30`
`BF=18`
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
`AB^2=BF^2+AF^2`
`30^2=18^2+AF^2`
`AF^2=30^2-18^2`
`AF=sqrt(30^2-18^2)`
`AF=sqrt(900-324)`
`AF=sqrt576`
`AF=24`
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
`60=2BC+2AF`
`60=2BC+2*24`
`2BC=60-48`
`BC=12/2`
`BC=6`
Тогда `AD=2*24+6=54`
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
`(BC)/(AD)=6/54=1/9`, значит
`(OE)/(OH)=1/9`
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 10 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 9 частей - OH.
ОЕ = 18 : 10 = 1,8
Ответ: 1,8
Номер: 22C756