23. Дайте развернутый ответ.
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD=26.
Впишите AB, используя знак корня √
13√2
Решение
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-150°=30°
Используя функцию sin и зная одну сторону, можем узнать высоты BK и CH
`sin∠CDH=(CH)/(CD)`
`CH=sin∠CDH*CD`
`CH=sin30°*26`
`sin30°=1/2`
`CH=1/2*26`
`CH=13`
(В данном конкретном случае CH можно узнать иначе: катет в прямоугольном треугольнике напротив угла 30° в 2 раза меньше гипотенузы, значит CH=26:2=13)
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
`sin∠BAK=(BK)/(AB)`
`AB=(BK)/(sin∠BAK)`
`AB=13/(sin45°)`
`AB=13/(sqrt2/2)=(13*2)/sqrt2=13sqrt2`
(В данном случае так же можно было поступить иначе: ∠BAK=45°, значит треугольник BKA равнобедренный и BK=AK. По теореме Пифагора `BA^2=13^2+13^2`
`BA^2=169+169`
`BA=sqrt(338)`
`BA=13sqrt2` )
Ответ: 13√2
Оформление статграда:
Проведём перпендикуляры BK и CH к прямой AD .
В прямоугольном треугольнике CDH угол HCD равен 150°-90°=60°, следовательно,
CH = CD*cos60° = 13.
В прямоугольном треугольнике ABK имеем BK=CH=13, а угол ABK
равен 45°. Значит,
`AB=(BK)/(cos45°) = 13/(sqrt2/2) = 13sqrt2`
Ответ: 13√2
Номер: 705153