25. Дайте развернутый ответ.
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Впишите радиус, используя знак √
10√7
Решение
Проведём через точку D прямую, параллельную диагонали AC. Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды: AL = CD = 10.
Вертикальные углы AKB и CKD равны.
Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие:
∠CKD =∠LDK = 60º.
Четырёхугольник ABDL вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°:
∠LAB = 180º -∠LDK = 180º - 60º = 120º.
Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов
`BL=sqrt(AL^2+AB^2−2ALcos120)=sqrt(100+1600−2∗10∗40cos120)=sqrt2100`
Далее по теореме синусов найдем радиус, выразив его через сторону и синус угла напротив нее
`R=(BL)/(2sin∠BAL)=(sqrt2100*2)/(2*sqrt3)=sqrt700=10sqrt7`
Ответ: 10√7
Номер: A172F9