Найдите площадь трапеции. Задание 25 ОГЭ по математике (геометрия), ФИПИ

Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK будут равны как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CDK  — равнобедренный:
KC = CD = 41.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 41 - 16 = 25.
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда 
AD = KB = 25
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD = AD - BC = 25 - 16 = 9
По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP=AB=40
Теперь надо догадаться, что △CPD прямоугольный. Если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD²=PD²+CP²
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP²=CD²-PD²
CP²=41²-9²
CP=√(1681-81)=√ 1600=40 . Точно, прямоугольный.
Но записываем так:
По теореме, ОБРАТНОЙ теореме Пифагора, если PD²+CP²=CD² , то треугольник прямоугольный.
(Кто не в курсе, обратная теорема Пифагора:
Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.
Если a² + b² = c², то треугольник ABC — прямоугольный.)
PD² + CP² = 9² + 40² = 1681
CD² = 41² = 1681,
1681 = 1681, следовательно PD²+CP²=CD²  и треугольник CPD прямоугольный.
Значит, CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 25, 16 и высота 40. Можем найти площадь трапеции:
`S_(BCAD)=(BC+AD)/2*CP=(25+16)/2*40=41/2*40=20,5*20=820`
Ответ: 820