25. Дайте развернутый ответ.
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Впишите площадь
168
Решение
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
`AK=sqrt(AO^2+ОК^2)=sqrt(25-9)=4`
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда
AL=AK= 4.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
`S_(abc)=(AB+BC+CA)/2*OK=(AL+LB+BM+MC+CK+KA)/2*OK=(4+4+2BM+2MC)/2*3=3*(4+BM+MC)`
из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
`S_(abcd)=MH*BC=(MO+OH)*(BM+MC)=(3+4)*(BM+MC)=7*(BM+MC)`
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
`(7*(BM+MC))/2=3*(4+BM+MC)`
`7*(BM+MC)=6*(4+BM+MC)`
`7*(BM+MC)=24+6*(BM+MC)`
`7*(BM+MC)-6*(BM+MC)=24`
`BM+MC=24`
То есть основание BC = 24.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
`S_(abcd)=MH*BC=(3+4)*24=168`
Ответ: 168
Номер: 701E1F