25. Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.
Впишите AB, используя знак √
3√13
Решение
Пусть P — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому
`AP=PD=12/2=6`
`BC=2BD=2AB`, так как AD — медиана.
По свойству биссектрисы треугольника.
`(CE)/(AE)=(BC)/(AB)`,
так как BC больше AB в 2 раза, то
`(CE)/(AE)=2`, а AC=3AE
Проведём через вершину B прямую, параллельную AC.
Пусть K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда
`BK=AC=3AE`.
Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:
`(PE)/(BP)=(AE)/(BK)=1/3`
то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE
`PE=12/4*1=3` и `BP=12/4*3=9`
Теперь, зная BP и AP, можем найти AB
`AB=sqrt(BP^2+AP^2)=sqrt(9^2+6^2)=sqrt(81+36)=sqrt117=3sqrt13`
BC из условия, что оно в два раза больше BA, будет
`BC=2sqrt117=2*3sqrt13=6sqrt13`
Зная PE и AP, можем найти AE
`AE=sqrt(PE^2+AP^2)=sqrt(3^2+6^2)=sqrt(9+36)=sqrt45`
Тогда AC из условия, что оно в 3 раза больше AE, будет
`AC=3sqrt45=3*3sqrt5=9sqrt5`
Ответ: AB=3√13, BC=6√13, AC=9√5
Номер: 89CAAE