Processing math: 100%

25. Дайте развернутый ответ.

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cosBAC=154.

Впишите радиус

8

Решение


Найдем AE по теореме о касательной и секущей. Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 4*15
АE = 415= 60
Рассмотрим △АЕМ. По теореме косинусов найдем EM:
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = 602 +42 - 2*60*4*154= 60+16-2*60*15=76-2*30=16
EM = 16 =4
Рассмотрим △АЕN. По теореме косинусов найдем EN:
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = 602 +152 - 2*60*15*154=60+225-(900*15)/2=285-225=60
EN = 60
В △AEN стороны AE и EN равны, значит △AEN равнобедренный, где где AE = EN = 60. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит ∠BAC = ∠ENA.
Из основного тригонометрического тождества найдем sin∠ENA.
sinENA2+cosENA2=1sinENA2+(154)2=1sinENA2=1(154)2sinENA2=11516sinENA2=116sinENA=14
По теореме синусов найдем радиус описанной вокруг треугольника окружности:
R=EM2sinENA=4214=8
Ответ: 8

iНомер: F41EBF