25. Дайте развернутый ответ.
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√154.
Впишите радиус
8
Решение
Найдем AE по теореме о касательной и секущей. Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 4*15
АE = √4∗15= √60
Рассмотрим △АЕМ. По теореме косинусов найдем EM:
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = √602 +42 - 2*√60*4*√154= 60+16-2*√60*√15=76-2*30=16
EM = √16 =4
Рассмотрим △АЕN. По теореме косинусов найдем EN:
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = √602 +152 - 2*√60*15*√154=60+225-(√900*15)/2=285-225=60
EN = √60
В △AEN стороны AE и EN равны, значит △AEN равнобедренный, где где AE = EN = √60. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит ∠BAC = ∠ENA.
Из основного тригонометрического тождества найдем sin∠ENA.
sin∠ENA2+cos∠ENA2=1sin∠ENA2+(√154)2=1sin∠ENA2=1−(√154)2sin∠ENA2=1−1516sin∠ENA2=116sin∠ENA=14
По теореме синусов найдем радиус описанной вокруг треугольника окружности:
R=EM2∗sin∠ENA=42∗14=8
Ответ: 8
Номер: F41EBF