25. Дайте развернутый ответ.
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если `cos∠BAC=(sqrt15)/4`.
Впишите радиус
8
Решение
Найдем AE по теореме о касательной и секущей. Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 4*15
АE = $\sqrt{4\ast15}$= $\sqrt{60}$
Рассмотрим △АЕМ. По теореме косинусов найдем EM:
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{60}$2 +42 - 2*$\sqrt{60}$*4*$\frac{\sqrt{15}}4$= 60+16-2*$\sqrt{60}$*$\sqrt{15}$=76-2*30=16
EM = $\sqrt{16}$ =4
Рассмотрим △АЕN. По теореме косинусов найдем EN:
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{60}$2 +152 - 2*$\sqrt{60}$*15*$\frac{\sqrt{15}}4$=60+225-($\sqrt{900}$*15)/2=285-225=60
EN = $\sqrt{60}$
В △AEN стороны AE и EN равны, значит △AEN равнобедренный, где где AE = EN = $\sqrt{60}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит ∠BAC = ∠ENA.
Из основного тригонометрического тождества найдем sin∠ENA.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2=1\\\sin\angle ENA^2+{(\frac{\sqrt{15}}4)}^2=1\\\sin\angle ENA^2=1-{(\frac{\sqrt{15}}4)}^2\;\;\\\sin\angle ENA^2=1-\frac{15}{16}\\\sin\angle ENA^2=\frac1{16}\\\sin\angle ENA=\frac14$
По теореме синусов найдем радиус описанной вокруг треугольника окружности:
$R=\frac{EM}{2\ast\sin\angle ENA}=\frac4{2\ast{\displaystyle\frac14}}=8$
Ответ: 8
Номер: F41EBF