Тренажер на задание 1 ЕГЭ по профильной математике. Планиметрия первой части с кратким ответом, ФИПИ, Ященко

Планиметрия - раздел геометрии. Изучает все плоское. Проходится до конца девятого класса. В десятом и 11-м внимание планиметрии практически не уделяется, поэтому задания по планиметрии на ЕГЭ решаются тяжко. Чтобы избежать забывания, нужно периодически прорешивать задания, которые будут на ЕГЭ по профильной математике. Задания первой части ЕГЭ (с кратким ответом) довольно простые, но много теории нужно держать в голове. Чтобы аксиомы и теоремы не забыть к ЕГЭ, решайте задачки  из нашего тренажера периодически и систематически. Собрали для вас прототипы ФИПИ.

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 37°, стороны 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 равны. Найдите угол 𝐶. Ответ дайте в градусах.

106

Решение

Сумма углов треугольника 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании одинаковы.

∠C=180-37-37=106°
Ответ: 106

iНомер: 8286C4

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 102°, стороны 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 равны. Найдите угол 𝐴. Ответ дайте в градусах.

39

Решение

Сумма углов треугольника 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании одинаковы.

`∠A=(180-102)/2=39°`
Ответ: 39

iНомер: 7AFD6F

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 — биссектриса, угол 𝐶 равен 104°, угол 𝐶𝐴𝐷 равен 5°. Найдите угол 𝐵. Ответ дайте в градусах.

66

Решение

Биссектриса делит угол пополам ⇒
∠A=5*2=10°

Сумма углов треугольника 180°. 
∠B=180-104-10=66°
Ответ: 66

iНомер: 1A845D

1. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

31

Решение


1) ∠BCH=45-14=31º
2) ΔBCH:   ∠B = 180-90-31=59º
3) ΔABC:   ∠A = 180-90-59=31º
Ответ: 31

iНомер: 70BEF2

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐷 — медиана, угол 𝐶 равен 90°, угол 𝐵 равен 35°. Найдите угол 𝐴𝐶𝐷. Ответ дайте в градусах.

55

Решение

Свойство медианы. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

1) ∠BCD = 35°
2) ∠ACD = 90 - 35 = 55°

Ответ: 55

iНомер: 5B17F7

1. Впишите правильный ответ.

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

31

Решение


1) ∠ACK=45º
2) ∠ACM=45-14=31º
3) ∠A = 31º так как ΔACM равнобедренный (в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы)
Ответ: 31

iНомер: CAC0BA

1. Впишите правильный ответ.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

78

Решение


Пусть высота падает на гипотенузу AB в точке H, а медиана - в точке M.
1) ΔBCH:  ∠BCH=180-90-84=6º
2) ∠ACM =6   так как ΔACM равнобедренный (в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы)
3) ∠MСH = 90-6-6=78º 
Ответ: 78

iНомер: F1150D

1. Впишите правильный ответ.

Острый угол 𝐵 прямоугольного треугольника равен 66°. Найдите угол между биссектрисой 𝐶𝐷 и медианой 𝐶𝑀, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

21

Решение


1) ∠BCD=45º
2) ∠A=180-90-66=24º
3) ∠ACM=24º так как ΔACM равнобедренный (в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы)
4) ∠MСD=90-45-24=21º
Ответ: 21

iНомер: ЕГЭ 2017

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 56°, углы 𝐵 и 𝐶 – острые, высоты 𝐵𝐷 и 𝐶𝐸 пересекаются в точке 𝑂. Найдите угол 𝐷𝑂𝐸. Ответ дайте в градусах.

124

Решение

Сумма внутренних углов четырёхугольника равна 360°.

Рассмотрим четырехугольник ADOE.
∠DOE=360-90-90-56=124°
Ответ: 124

iНомер: A4D931

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 58°, биссектрисы 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 пересекаются в точке 𝑂. Найдите угол 𝐴𝑂𝐵. Ответ дайте в градусах.

119

Решение

`∠A+∠B=180-58=122°`
`1/2∠A+1/2∠B=122/2=61`°
`∠AOB=180-61=119°`
Ответ: 119

iНомер: 540F92

1. Впишите правильный ответ.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.

30,25***30.25

Решение

Формула площади треугольника через угол 
`S_△=1/2*a*c*sinβ`, где β-угол между сторонами a и c.

`S_(△ABC)=1/2*11*11*sin30°=1/2*11*11*1/2=30,25`
Ответ: 30,25

iНомер: 21470A

1. Впишите правильный ответ.

Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 24, 𝐷𝐸 — средняя линия, параллельная стороне 𝐴𝐵. Найдите площадь треугольника 𝐶𝐷𝐸.

6

Решение

Средняя линия равна половине основания, а высота - половине высоты, при этом, исходя из формулы площади треугольника

`S_(ABC)=1/2*AB*h=24`
`S_(CDE)=1/2*1/2AB*1/2h=(1/2*AB*h)*1/4`
То есть площадь меньше в 4 раза. 
`24/4=6`
Ответ: 6

Второе решение:

`S_(больш.△)/S_(мал.△)=k^2`- отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

DE — средняя линия, значит k=2
`S_(△ABC)/S_(△CDE)=2^2`
`S_(△CDE)=24/4=6`
Ответ: 6

iНомер: F34697

1. Впишите правильный ответ.

Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶  равна 24, 𝐷𝐸 — средняя линия, параллельная стороне 𝐴𝐵. Найдите площадь трапеции 𝐴𝐵𝐸𝐷.

18

Решение

Средняя линия равна половине основания, а высота - половине высоты, при этом, исходя из формулы площади

`S_(ABC)=1/2*AB*h=24`
`S_(DCE)=1/2*1/2 AB*1/2 h=1/4*1/2*AB*h`
То есть, площадь маленького треугольника составляет 1/4 от большого, значит площадь трапеции равна `3/4=0,75` от площади большого треугольника
`24*0,75=18`
Ответ: 18

Второе решение:

`S_(больш.△)/S_(мал.△)=k^2`- отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

DE — средняя линия, значит k=2
`S_(△ABC)/S_(△CDE)=2^2`
`S_(△CDE)=24/4=6`
`S_(ABED)=24-6=18`
Ответ: 18

iНомер: 5B3F1A

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸 — средняя линия. Площадь треугольника 𝐶𝐷𝐸 равна 24. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶.

96

Решение

`S_(больш.△)/S_(мал.△)=k^2`- отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

DE — средняя линия, значит k=2
`S_(△ABC)/S_(△CDE)=2^2`
`S_(△ABC)=24*4=96`
Ответ: 96

iНомер: 509E9A

1. Впишите правильный ответ.

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на бо́льшую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

20

Решение

Формула площади треугольника через высоту
`S_△=1/2*a*h_a`

`S_△=1/2*28*15=210`
Пусть x - вторая высота
`210=1/2*21*x`   | :21
`10=1/2*x`
`х=20`
Ответ: 20

iНомер: CA58AE

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵=𝐵𝐶, 𝐴𝐶=14, высота 𝐶𝐻 равна 7. Найдите синус угла 𝐴𝐶𝐵.

0,5***0.5

Решение

1) ΔAHC:  `sin∠A = (CH)/(AC)`
`sin∠A = 7/14 = 1/2 = 0,5`

2) ΔABC: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны
`sin∠ACB = 0,5`
Ответ: 0,5

iНомер: 387739

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶=𝐵𝐶, 𝐴𝐵=20, высота 𝐴𝐻 равна 8. Найдите синус угла 𝐵𝐴𝐶.

0,4***0.4

Решение

1) ΔABH:
`sin∠B = 8/20 = 4/10 = 0,4`

2) ΔABC:
`sin∠BAC = 0,4`
Ответ: 0,4

iНомер: B26F8E

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶=𝐵𝐶, 𝐴𝐵=15, 𝐴𝐻 — высота, 𝐵𝐻=6. Найдите косинус угла 𝐵𝐴𝐶.

0,4***0.4

Решение

1) `∠A =∠B`
2) ΔABH:
`cos∠B = 6/15 = 2/15 = 0,4`
2) ΔABC:
`cos∠BAC = 0,4`
Ответ: 0,4

iНомер: C18485

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶=𝐵𝐶 , высота 𝐶𝐻 равна 19,2, `cosA=7/25`. Найдите 𝐴𝐶.

20

Решение

1) `sin^2α + (7/25)^2=1`
`sin^2A + (49/625)^2=1`
`sin^2A = 576/625`
`sinA = 24/25`

2) `sinA = 24/25=(19,2)/(AC)`
`AC = (25*19,2*0,8)/24 =20`
Ответ: 20

iНомер: 244628

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶=𝐵𝐶=20, 𝐴𝐵=28. Найдите cosA.

0,7***0.7

Решение

`cosA = (AH)/(AC)=14/20=7/10=0,7`
Ответ: 0,7

iНомер: 565E4B

1. Впишите правильный ответ.

В равностороннем треугольнике 𝐴𝐵𝐶 высота 𝐶𝐻 равна `45sqrt3`. Найдите 𝐴𝐵.

90

Решение

Высота равностороннего треугольника
`h=(sqrt3*a)/3`

`45sqrt3=(sqrt3*AB)/2`    | :`sqrt3`
`AB=45*2=90`
Ответ: 90

iНомер: 7CD17A

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐵𝐶=12, `cosB=3/5`. Найдите 𝐴𝐵.

20

Решение

`cosB = 3/5 = 12/(AB)`
`AB=(5*12)/3=20`
Ответ: 20

iНомер: D74EE5

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, AB=10 , BC=`sqrt19`. Найдите cosA.

0,9***0.9

Решение

Находим неизвестный катет по теореме Пифагора.
`10^2=sqrt(19)^2+x^2`
`x^2=10^2-sqrt(19)^2`
`x^2 = 81`
`х=9`
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
`cosA=9/10=0,9`
Ответ: 0,9

iНомер: A33A46

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐵𝐶=6, 𝐴𝐵=10. Найдите sinB.

0,8***0.8

Решение

1) По теореме Пифагора
`10^2=6^2+AC^2`
`100=36+AC^2`
`AC^2 =64`
`AC =8`

2) `sinB=8/10=0,8`
Ответ: 0,8

iНомер: 27BB40

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, sinA=0,8. Найдите sinB.

0,6***0.6

Решение

`sin^2B+cos^2B=1`
`sin^2B+0,64=1`
`sin^2B=0,36`
`sinB=0,6`
Ответ: 0,6

iНомер: CD84BB

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐶=6 , `tgA=(sqrt5)/2`. Найдите 𝐴𝐵.

9

Решение

`1+tg^2α=1/(cos^2α)`

1) `1+5/4=1/(cos^2A)`
`9/4=1/(cos^2A)`
`cos^2A =4/9`
`cosA = 2/3`

2) `cosA = 2/3 =6/(AB)`
`AB = 9`
Ответ: 9

iНомер: 58D926

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶: ∠𝐶=90°, 𝐵𝐶=`4sqrt3`, 𝐴𝐶=4. Найдите sin𝐵.

0,5***0.5

Решение

1) Находим гипотенузу по теореме Пифагора
`AB^2=4^2+(4sqrt3)^2`
`AB^2=64`
`AB=8`

2) `sinB=4/8=1/2=0,5`
Ответ: 0,5

iНомер: ЕГЭ 2015

1. Впишите правильный ответ.

В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐵=4, tg𝐴=0,75. Найдите 𝐴𝐶.

3,2***3.2

Решение

Тригонометрические формулы
`1+tg^2α=1/(cos^2α)`

1) `1+(3/4)^2=1/(cos^2A)`
`1/(cos^2A)=1/1+9/16`
`1/(cos^2A)=25/16`
`cos^2A=16/25`
`cosA=4/5`

2) `cosA=4/5 =(AC)/4`
`AC = (4*4)/5=16/5=3,2`
Ответ: 3,2

iНомер: ЕГЭ 2016

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵=𝐵𝐶. Внешний угол при вершине 𝐵 равен 94°. Найдите угол 𝐶. Ответ дайте в градусах.

47

Решение

Смежные углы вместе составляют 180°
`∠B_(внутр.)=180-94=86°`

Сумма углов треугольника 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании одинаковы.
`∠C=(180-86)/2=47°`
Ответ: 47

iНомер: ЕГЭ 2018

1. Впишите правильный ответ.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐵  равна `3sqrt2`, угол 𝐶 равен 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

3

Решение

Теорема синусов `a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R`

По теореме синусов:
`(AB)/(sinC)=2R`  
`(3sqrt2)/(sqrt2/2)=2R`
`2R =6`
`R=3`
Ответ: 3

iНомер: 1DD37A

1. Впишите правильный ответ.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 136, основание равно 128. Найдите радиус вписанной окружности.

38,4***38.4

Решение

Формула площади треугольника через высоту
`S_△=1/2*a*h_a`
Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности
S=pr, где p - полупериметр, r - радиус

Построим высоту CH и найдем ее по теореме Пифагора из △ACH.
1362=642+CH2
CH2=1362-642 
CH2=(136-64)(136+64)
CH2=72*200
CH2=36*400
CH=6*20=120

`1/2*a*h_a=pr`
`1/2*128*120=(136*2+128)/2*r`
`64*120=200*r`
`r=(64*120)/200`
`r=(64*6)/10`
`r=38,4`
Ответ: 38,4

iНомер: ЕГЭ 2014 ⭐

1. Впишите правильный ответ.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

24

Решение

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

1) АС=11
2) АВ = 1+1=2
3) P = 11+11+2=24
Ответ: 24

iНомер: ЕГЭ 2017

1. Впишите правильный ответ.

Один угол параллелограмма больше другого на 40°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

70

Решение

В параллелограмме  сумма углов, прилегающих к любой стороне, равна 180 градусам.

∝+∝+40=180
2∝ = 140
∝ =70°
Ответ: 70

iНомер: 2E0A28

1. Впишите правильный ответ.

Один угол параллелограмма больше другого на 52°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

116

Решение

В параллелограмме  сумма углов прилегающих к любой стороне равна 180 градусам.

∝+∝-52=180
2∝ = 232
∝ = 116
Ответ: 116

iНомер: 3C09A9

1. Впишите правильный ответ.

Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1,5***1.5

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

`S = 5*3=15`
`S = 10*h_(10)=15`
`h_(10) = 15/10=1,5`
Ответ: 1,5

iНомер: D254F2

1. Впишите правильный ответ.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 132. Точка G — середина стороны 𝐶𝐷. Найдите площадь трапеции ABGD.

99

Решение

Если из середины G провести прямую,  параллельную стороне CB, то она также будет делить АB пополам.

Площадь такого параллелограмма будет равна `132/2=66`
При этом GB будет диагональю правой половины и делит ее тоже пополам.
Тогда
`S_(ABGD) = 66+33=99`
Ответ: 99

iНомер: 2695F1

1. Впишите правильный ответ.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 28. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь трапеции 𝐵𝐶𝐷𝐸.

21

Решение

Площадь параллелограмма равна 
`S=AD*h`
Площадь трапеции
`S=(AD+ED)/2*h=(1,5AD)/2*h=0,75AD*h`
То есть 0,75-я часть от площади параллелограмма равна площадь трапеции
`28*0,75=21`
Ответ: 21

iНомер: F12D1C

1. Впишите правильный ответ.

В ромбе 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐶𝐷𝐴 равен 78°. Найдите угол 𝐴𝐶𝐵. Ответ дайте в градусах.

51

Решение

1) ∠B = ∠D = 78°
2) AB=BC  ⇒  ΔABC равнобедренный
3) `∠ACB =(180-78)/2=51`
Ответ: 51

iНомер: 257EE0

1. Впишите правильный ответ.

Угол между стороной и диагональю ромба равен 54°. Найдите острый угол ромба.

72

Решение

1) BC=AB
⇒ ΔABC равнобедренный.
⇒ ∠BAC = 54
2) ∠B = 180-2*54=180-108=72
Ответ: 72

iНомер: ЕГЭ 2019

1. Впишите правильный ответ.

Основания трапеции равны 2 и 4. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

2

Решение

Средняя линия треугольника равна половине основания.

Точку пересечения DB и EF обозначим символом К, тогда
`EK=1/2*4=2`
Ответ: 2

iНомер: ЕГЭ 2019

1. Впишите правильный ответ.

В четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписана окружность, 𝐴𝐵=13, 𝐵𝐶=7 и 𝐴𝐷=11. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

5

Решение

Признаком описанного четырехугольника является свойство, когда суммы противоположных сторон равны.
AB +CD = BC + DA

11+7=13+CD
18=13+CD
CD =5
Ответ: 5

iНомер: 31765C

1. Впишите правильный ответ.

В четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписана окружность, 𝐴𝐵=22, 𝐶𝐷=17. Найдите периметр четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷.

78

Решение

Признаком описанного четырехугольника является свойство, когда суммы противоположных сторон равны.
AB +CD = BC + DA

1) `BC+AD=22+17=39`
2) `BC + DA = AB +CD = 22 + 17 =39`
`P_(ABCD) = AB +CD + BC + DA = 39+39=78`
Ответ: 78

iНомер: CB8C97

1. Впишите правильный ответ.

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.

18,5***18.5

Решение

Признаком описанного четырехугольника является свойство, когда суммы противоположных сторон равны:
a + c = b + d
Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований: Ср. линия = `(a + c)/2`

1) Пусть a, c - основания; b, d - боковые стороны.
`a + c  = b + d = 15 + 22 = 37`
2) Ср. линия = `(a + c)/2=37/2=18,5`
Ответ: 18,5

iНомер: F6F40C

1. Впишите правильный ответ.

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.

4,5***4.5

Решение

Признак описанного четырёхугольника – суммы противоположных сторон равны
a+c = b+d

Пусть a, c - основания; b, d - боковые стороны.
`P = a + c + b + d = 40`   =>   `b + d = 20`
При b=11   
`d = 20 – 11 = 9`
`R = 9/2 = 4,5`
Ответ: 4,5

iНомер: 47EA41

1. Впишите правильный ответ.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

103

Решение

Признак вписанного четырехугольника - суммы противолежащих углов по 180°
∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

∠C = 180 – 56 = 124°
∠D = 180 – 77 = 103°
Ответ: 103

iНомер: C3174D

1. Впишите правильный ответ.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 99 и 117. Найдите бо́льший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

81

Решение

Во вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180 градусам.
Раз найти надо бо́льший угол, то отнимать будем меньший:
180-99=81º
Ответ: 81

iНомер: A9DCC5

1. Впишите правильный ответ.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах.

36

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается

Дуга `BC = 1/5 * 360 = 72°`
`∠d = 72 * 1/2 = 36°`
Ответ: 36

iНомер: 343A64

1. Впишите правильный ответ.

Найдите центральный угол, если он на 28° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

56

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Пусть х - центральный, тогда `х/2` - вписанный
`x/2+28=x`  | *2
`x+56=2x`
`x=56`
Ответ: 56

Опираются они на одну и ту же дугу, значит центральный угол в 2 раза больше вписанного, значит 28° - это половина центрального угла, а весь центральный угол 2*28°=56°

iНомер: 907C53

1. Впишите правильный ответ.

Центральный угол на 32° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

32

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Пусть х - вписанный, тогда 2х - центральный
`х+32=2х`
`х=32`
Ответ: 32

Вписанный угол в 2 раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. А раз он на 32° меньше, то 32° - это и есть половина центрального, то есть вписанный 32°.

iНомер: 30B4E7

1. Впишите правильный ответ.

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

33

Решение

∠BOC = ∠ AOD = 114° - вертикальные углы равны
△BOC – равнобедренный (OB и OC - радиусы окружности)
`∠OCB = (180-114)/2 = 33°`
Ответ: 33

iНомер: 29D9FB

1. Впишите правильный ответ.

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.

98

Решение

CO=OB из условия, так как это половина диаметра, то есть радиус. Значит треугольник OCB равнобедренный, а углы у основания равны.
Тогда угол вершины этого треугольника 
∠COB = 180-2*41= 98º
При этом ∠AOD=∠COB = 98º
Ответ: 98

iНомер: 80A34C

1. Впишите правильный ответ.

На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 200°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 80°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

40

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Дуга AB = 360 - 200 - 80 = 80°
`∠ACB = 80/2 = 40°`
Ответ: 40

iНомер: 65729E

1. Впишите правильный ответ.

Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Угол 𝐴𝐵𝐷 равен 61°, угол CAD равен 37°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

98

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается

дуга CD = 2*37 = 74°
дуга AD = 2 * 61 = 122°
дуга AC = 122 + 74 = 196°
`∠ABC = 1/2 * 196 = 98°`
Ответ: 98

iНомер: 3CF402

1. Впишите правильный ответ.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 98°, угол CAD равен 44°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

54

Решение

Вписанные в окружность углы опирающиеся на одну и ту же дугу равны, тогда
∠CAD=∠CBD=44°
∠ABD=∠ABС-∠CBD=98°-44°=54°
Ответ: 54

iНомер: 9C6FBB

1. Впишите правильный ответ.

Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Угол 𝐴𝐵𝐶 равен 82°, угол 𝐴𝐵𝐷 равен 47°. Найдите угол 𝐶𝐴𝐷. Ответ дайте в градусах.

35

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается

∠CBD = 82 – 47 = 35°
Дуга CD = 2 * 35 = 70°
`∠ CAD = 1/2  * 70 = 35°`
Ответ: 35

iНомер: F62324

1. Впишите правильный ответ.

Угол 𝐴𝐶𝑂 равен 27°, где 𝑂 − центр окружности. Его сторона 𝐶𝐴 касается окружности. Сторона 𝐶𝑂 пересекает окружность в точке 𝐵 (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги 𝐴𝐵 окружности. Ответ дайте в градусах.

63

Решение

Свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

∠AOC = 180 – 90 – 27 = 63°
Дуга AB = 63°
Ответ: 63

iНомер: A6532B

1. Впишите правильный ответ.

Найдите величину угла 𝐴𝐶𝑂, если его сторона 𝐶𝐴 касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B (см. рисунок), а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66°. Ответ дайте в градусах.

24

Решение

Свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

АС-касательная, тогда ∠СAO=90º
Градусная мера дуги AB указывает на то, что ∠AOB=66º, тогда
∠ACO=180º-90º-66º=24º
Ответ: 24

iНомер: 84E9F2

1. Впишите правильный ответ.

Угол 𝐴𝐶𝑂 равен 28°. Его сторона 𝐶𝐴 касается окружности с центром в точке 𝑂. Сторона 𝐶𝑂 пересекает окружность в точках 𝐵 и 𝐷 (см. рис.). Найдите градусную меру дуги 𝐴𝐷 окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

118

Решение

Свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

∠AOC = 180 – 90 – 28 = 62°
∠AOD центральный
∠AOD = 180 – 62 = 118°
Дуга AD = 118°
Ответ: 118

iНомер: 292C86

1. Впишите правильный ответ.

Угол 𝐴𝐶𝐵 равен 54°. Градусная мера дуги 𝐴𝐵 окружности, не содержащей точек 𝐷 и 𝐸 равна 138°. Найдите угол 𝐷𝐴𝐸. Ответ дайте в градусах.

15

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

`∠BDA = 1/2 * 138 = 69°`
∠ADC = 180 – 69 = 111°
∠DAC = 180 – 111 – 54 = 15°
Ответ: 15

iНомер: 6328DF

1. Впишите правильный ответ.

Через концы 𝐴 и 𝐵 дуги окружности с центром 𝑂 проведены касательные 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶. Меньшая дуга 𝐴𝐵 равна 58°. Найдите угол 𝐴𝐶𝐵. Ответ дайте в градусах.

122

Решение

Свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Сумма углов четырехугольника 360°

∠AOB = 58°
∠ACB = 360 – 90 – 90 – 58 = 122°
Ответ: 122

iНомер: 0EB251

1. Впишите правильный ответ.

Хорда 𝐴𝐵 стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол 𝐴𝐵𝐶 между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку 𝐵. Ответ дайте в градусах.

46

Решение

Угол между касательной и хордой
`a=(дуга AB)/2`

`∠ABC = 92/2 = 46°`
Ответ: 46

iНомер: ЕГЭ 2018

1. Впишите правильный ответ.

Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Угол 𝐵𝐴𝐷 равен 58°. Найдите угол 𝐵𝐶𝐷. Ответ дайте в градусах.

122

Решение

Признак вписанного четырехугольника - суммы противоположных углов по 180°
∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

∠A + ∠C = 180°
58 + ∠C = 180°
∠C = 122°
Ответ: 122

iНомер: ЕГЭ 2017

1. Впишите правильный ответ.

Угол 𝐴𝐵𝐷 равен 53°. Угол 𝐵𝐶𝐴 равен 38°. Найдите вписанный угол 𝐵𝐶𝐷. Ответ дайте в градусах.

91

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается

дуга AD = 106
дуга AB = 776°
дуга BD = 106 + 76 = 182°
`∠BCD = 1/2  * 182 = 91°`
Ответ: 91

iНомер: ЕГЭ 2019

1. Впишите правильный ответ.

Треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписан в окружность с центром 𝑂. Угол 𝐵𝐴𝐶 равен 32°. Найдите угол 𝐵𝑂𝐶. Ответ дайте в градусах.

64

Решение

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

32*2 = 64°
Ответ: 64

iНомер: Демоверсии ЕГЭ 2015-2020