Тренажер на задание 11 ЕГЭ по профильной математике. Графики функции. ФИПИ, Ященко

1 способ

Имеем смещение по оси абсцисс вправо 1, а по оси ординат 2 вверх.
k отвечает за наклон прямой и `k=tgα`, b - координата пересечения оси y.

`k=tgα=2/1=2`
`b=-1`
`y=2x-1`
`f(7)=2*7-1=13`

2 способ
 Он основан как раз на утверждении "имеем смещение по оси абсцисс вправо 1, а по оси ординат 2 вверх".
 Причем, у нас 1 шаг уже на x=1, а нам надо 7 шагов, то есть остается 6 шагов по оси x, до x=7, это 6*2=12 шагов вверх по оси, да 1 по y уже был после первого шага.
Итого 12+1=13

Ответ: 13

Коэффициент с всегда равен координате пересечения параболы с осью Оy:

c = 2

Ветви параболы направленны вверх, коэффициент а положительный. По вершине и ещё одной точке, заметим, что при возрастании координаты х на 2,5, координата у вырастает на 6,25, т.к. `2,5^2 = 6,25`, значит это обычная парабола с а = +1:
а = +1

Координата х вершины параболы (х = 1,5) находится по формуле:
`x=(-b)/(2a)`

Подставим известные значения и найдём b:
`1,5=(-b)/2`
`-b=1,5*2=3`
`b = –3`

Функция имеет вид:
`f(x) = +1x^2 – 3x + 2`

Найдём f(–2):
`f(–2) = +1*(–2)^2 – 3*(–2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12`

Ответ: 12

Ветви параболы направленны вверх, коэффициент а положительный. По вершине и ещё одной точке заметим, что при возрастании координаты х на 2, координата у вырастает на 4, т.к. зависимость квадратичная, а = 1, так как `2^2=4`

Теперь найдем вершину параболы.

Координата х вершины параболы находится по формуле:
`x=(-b)/(2a)`

х=-4, 

`-4=(-b)/(2*1)`
`-b=-8`
`b=8`

В итоге получаем функцию:

`y=1*x^2+8x+c`

Если взять значения из точки (-2;1) и подставить в нее, то можно как раз узнать с

`y=1*x^2+8x+c`
`1=1*(-2)^2+8*-2+c`
`1=4-16+c`
`с=13`

получаем функцию:

`y=1*x^2+8x+13`

Теперь осталось подставить -12 вместо x, то есть x = -12 и произвести вычисления.

f(12)=144-96+13=61

Ответ: 61

Возьмём точку, принадлежащую гиперболе (2; 1), и подставим в функцию, найдём k
`1=k/2`
`k = 1·2 = 2`

Функция имеет вид:
`f(x)=2/x`

Найдём f(10):
`f(10)=2/10=0,2`

Ответ: 0,2

Возьмём точку, принадлежащую гиперболе (-1; 1) и подставим в функцию, найдём k.
`-1=k/1`
`k = -1 * 1 = -1`

Функция имеет вид:
`f(x)=-1/x`

Найдём f(10):
`f(10)=-1/10=-0,1`

Ответ: -0,1

Возьмём точку (1; 2), принадлежащую графику, и подставим её координаты х, у (это f(x)) в функцию, найдём при этом коэффициент а

f(x) = a^x
2 = a¹
a = 2

Значит функция имеет вид:
f(x) = 2^x

Найдём f(3):
f(3) = 2³ = 2·2·2 = 8

Ответ: 8

Возьмём точку (-1; 2), принадлежащую графику, и подставим её координаты х, у (это f(x)) в функцию, найдём при этом коэффициент а.

`f(x) = a^x`
`2 = a^(-1)`
`a = 1/2`

Значит функция имеет вид:
`f(x) = (1/2)^x`

Найдём f(-4):
`f(-4) = (1/2)^-4 = 16`

Ответ: 16

Возьмём точку (2; –1), принадлежащую графику, и подставим её координаты х, у (это f(x)) в функцию, найдём при этом коэффициент а:

`f(x) = log_a x`
`–1 = log_(a)2`
`a^(–1) = 2`
`a=1/2`

Значит функция имеет вид:
`f(x) = log_(1/2)x`

Найдём f(8):
`f(8) = log_(1/2)8=log_(2^-1)8=-1 log_(2)8=-1* 3 =-3`

Ответ: -3

Возьмём точку (2; 1), принадлежащую графику, и подставим её координаты х, у (это f(x)) в функцию, найдём при этом коэффициент а.

`f(x) = log_a x`
`1 = log_a 2`
`a^1 = 2`
`a = 2`

Значит функция имеет вид:
`f(x) = log_2 x`

Найдём f(16):
`f(16) = log_2 x`
`x=4`

Ответ: 4

На рисунке изображены прямые, линейных функции имеют вид:
y = kx + b

Найдём k и b первой функции.
На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A

k – тангенс угла (α) наклона прямой, по отношению к оси х. Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Найдём k:

`k = tg α = 2/2 = 1`

b – сдвиг прямой по оси у, по графику видим, прямая сдвинута от 0 на 3.
`b = 3`

Первая функция имеет вид:
`y = 1*x + 3 = x + 3`

Найдём k и b второй функции.
На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A.
`k = tg α = 2/1 = 2`

Прямая проходит через начало координат (0; 0), значит b = 0.

Вторая функция имеет вид:
`y = 2x + 0 = 2x`

В точке пересечения прямых значения функций (y) равны, найдём абсциссу (х) точки пересечения, то есть просто приравняем полученные ранее функции:

`x + 3 = 2x`
`3 = 2x – x`
`3 = x`

Ответ: 3

f(x) = ax² + bx + c

Коэффициент с равен координате у точки пересечения с осью у, т.е. с = 0.
Подставим координаты точек, принадлежащих параболе, в функцию (f(x) = ax² + bx + c):

(–1; 2) – в 1-е уравнение значения точки параболы (–1; 2),
(2; 2) – во 2-е уравнение значение точки параболы (2; 2),

и с = 0 в оба уравнения, получим систему из двух уравнений для параболы:

`{(2 = a*(-1)^2 + b*(-1) + 0),(2 = a*2^2 + b * 2 + 0):}`
`{(2 = a – b),(2 = 4a + 2b):}`
поделим на 2 обе части второго уравнения
`{(2 = a – b),(1 = 2a + b):}`

Cложим уравнения:
`2 + 1 = а + 2а – b + b`
`3 = 3a`
`a = 3/3 = 1`

Подставим а = 1 во первое уравнение системы, найдём b:
`2 = 1 – b`
`2 – 1 = –b`
`1 = –b`
`b = –1`

Функция параболы имеет вид:
f(x) = 1* x² – 1* x + 0 = x² – x

Подставим точку (1; 3), принадлежащую прямой в функцию g(x) = kx и найдём k:

3 = k·1
k = 3

Функция прямой имеет вид:
g(x) = 3x

Найдём координаты абсцисс точек пересечения функций:

f(x) = g(x)
x² – x = 3x
x² – x – 3x = 0
x² – 4x = 0
x(x – 4) = 0
х₁ = 0 (абсцисса точки А на графике)
или
х – 4 = 0
х₂ = 4 (искомая абсцисса точки В)

Ответ: 4

`f(x) = k/x`

Подставим координаты точки (–4; –2), найдём k гиперболы:
`–2 = k/(–4)`
`k = –2·(–4) = 8`

Гипербола имеет вид:
`f(x) = 8/x`

Найдём a и b прямой g(x) = ax + b.
a – тангенс угла наклона прямой по отношению к оси х. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

`a = tg a =1/4 = 0,25`

b – сдвиг прямой по оси у, по графику видим, прямая сдвинута от 0 на –1.
`b = –1`

Функции прямой имеет вид:
`g(x) = 0,25x – 1`

Найдём абсциссы точек пересечения функций:

`f(x) = g(x)`
`8 = (0,25x – 1) * x`
`8 = 0,25x^2 – x`
`0,25x^2 – x – 8 = 0`
`D = (–1)^2 – 4*0,25*(–8) = 9 = 3^2`
`x_(1)=(1+3)/(2*0.25)=8`
`x_(2)=(1-3)/(2*0.25)=-2/0.5=-4`

У точки А координата х = –4, значит у точки В координата х = 8.

Ответ: 8

f(x) кривой проходит через точку (1; 2), подставим значения х и у (это f(x)) в функцию, найдём а:
`f(x) = asqrtx`
`2 = asqrt1`
`2 = a·1`
`а = 2`

Значит функция имеет вид: f(x) = 2*√x

g(x) проходит через точку (2; 1), подставим значения х и у (это f(x)) в функцию, найдём k:
`g(x) = kx`
`1 = k·2`
`k=1/2=0,5`

Значит функция имеет вид: g(x) = 0,5x
Найдём абсциссу (х) точки пересечения В из системы уравнений:

`f(x)=2sqrt(x)`
`g(x)=0,5x`

`y=2sqrt(x)`
`y=0,5x`

Приравняем через y уравнения:

`2sqrtx = 0,5x`

Возведём обе части в квадрат:

`(2sqrtx)^2 = (0,5x)^2`
`4x = 0,25x^2 `
`16x = x^2`
`16x – x^2 = 0`
`x*(16 – x) = 0`
`x_1 = 0` (абсцисса точки А)
или
`16 – x = 0`
`х_2 = 16` (абсцисса точки В)

Ответ: 16