Найдите расстояние между прямыми AB и CD. Задание 25 ОГЭ по математике (геометрия), ФИПИ

25. Дайте развернутый ответ.

Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Впишите расстояние

80

Решение


Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов (100+25=125). Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус O1C второй окружности. Тогда
`O_1P = O_1C - PC = O_1C - OA = 100 - 25 = 75`.
Из прямоугольного треугольника OPO1 находим, что
`OP=sqrt(OO_1^2−O_1P^2)=sqrt((100+25)^2−75^2)=sqrt(15625−5625)=100`
Опустим перпендикуляр BQ из точки B на прямую CD. Прямоугольный треугольник BQD подобен прямоугольному треугольнику OPO1 по двум углам, поэтому:
`(BQ)/(BD)=(OP)/(OO_1)`
Следовательно,
`BQ=(OP∗BD)/(OO_1)=(100∗100)/(125)=10000/125=80`
Ответ: 80

iНомер: 057560